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共轭转置

一个 m×n 矩阵 A 的共轭转置是 n×m 矩阵，定义为

A^(H)=A^_^(T),
(1)

其中 A^(T) 表示矩阵 A 的转置，而 A^_ 表示共轭矩阵。在所有常见空间（即，可分的希尔伯特空间）中，共轭和转置运算是可交换的，因此

A^(H)=A^_^(T)=A^(T)^_.
(2)

符号 A^(H) （其中 “H” 代表 “Hermitian”）正式承认了对于复矩阵来说，几乎总是出现取转置和复共轭的组合运算，而在物理或计算上下文中，几乎从不单独出现转置 (Strang 1988, pp. 220-221)。

矩阵 A 的共轭转置在 Wolfram 语言中实现为ConjugateTranspose[A].

共轭转置也称为伴随矩阵、附加矩阵、埃尔米特伴随或埃尔米特转置（Strang 1988, p. 221）。不幸的是，几种不同的符号在使用中，如下表总结所示。虽然符号 A^| 在量子场论中被普遍使用，但 A^(H) 在线性代数中被常用。请注意，由于 A^* 有时用于表示复共轭，因此必须特别注意不要混淆来自不同来源的符号。

符号参考
A^(H)本文; Golub and van Loan (1996, p. 14), Strang (1988, p. 220)
A^*Courant and Hilbert (1989, p. 9), Lancaster and Tismenetsky (1984), Meyer (2000)
A^|Arfken (1985, p. 210), Weinberg (1995, p. xxv)

如果一个 矩阵 等于其自身的共轭转置，则称其为自伴的，并称为 埃尔米特矩阵。

矩阵乘积的共轭转置由下式给出

(ab)_(ij)^H=[(ab)^(T)^_]_(ij).
(3)

使用转置乘积的恒等式给出

((ab)^(T)^_)_(ij)=(b^(T)a^(T)^_)_(ij)
(4)
=b_(ik)^Ta_(kj)^T^_
(5)
=(b^(T)^_)_(ik)(a^(T)^_)_(kj)
(6)
=b_(ik)^Ha_(kj)^H
(7)
=(b^(H)a^(H))_(ij),
(8)

其中爱因斯坦求和已在此处用于对重复索引求和，由此得出

(AB)^(H)=B^(H)A^(H).
(9)

另请参阅

伴随, 复共轭, 共轭矩阵, Dagger, 埃尔米特矩阵, Schur 分解, 自伴矩阵, 转置

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参考资料

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, p. 210, 1985.Ayres, F. Jr. Schaum's Outline of Theory and Problems of Matrices. New York: Schaum, p. 49, 1962.Courant, R. and Hilbert, D. Methods of Mathematical Physics, Vol. 1. New York: Wiley, 1989.Golub, G. H. and Van Loan, C. F. Matrix Computations, 3rd ed. Baltimore, MD: Johns Hopkins University Press, p. 14, 1996.Lancaster, P. and Tismenetsky, M. The Theory of Matrices, with Applications, 2nd ed. New York: Academic Press, 1984.Meyer, C. D. Matrix Analysis and Applied Linear Algebra. Philadelphia, PA: SIAM, 2000.Strang, G. Linear Algebra and its Applications, 3rd ed. Philadelphia, PA: Saunders, 1988.Strang, G. Introduction to Linear Algebra. Wellesley, MA: Wellesley-Cambridge Press, 1993.Weinberg, S. The Quantum Theory of Fields, Vol. 1: Foundations. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1995.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

共轭转置

请引用为

Weisstein, Eric W. “共轭转置。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ConjugateTranspose.html

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