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学生 z 分布

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StudentsZDistribution

学生 z 分布的概率密度函数由下式给出

f_n(z)=(Gamma(n/2))/(sqrt(pi)Gamma((n-1)/2))(1+z^2)^(-n/2).
(1)

现在定义

d_n(z)=(|z|^(1-n)Gamma(1/2n)_2F_1(1/2(n-1),1/2n;1/2(n+1);-z^(-2)))/(2sqrt(pi)Gamma[1/2(n+1)]),
(2)

则累积分布函数由下式给出

D_n(z)={d_n(z) for z<=0; 1-d_n(z) for z>=0
(3)

均值为 0，因此 矩为

mu_1=0
(4)
mu_2=1/(n-3)
(5)
mu_3=0
(6)
mu_4=3/((n-3)(n-5)).
(7)

均值、方差、偏度和 超额峰度 为

mu=0
(8)
sigma^2=1/(n-3)
(9)
gamma_1=0
(10)
gamma_2=6/(n-5).
(11)

特征函数为

phi(t)=(2^((3-n)/2)|t|^((n-1)/2)K_((1-n)/2)(|t|))/(Gamma[1/2(n-1)]),
(12)

其中 K_n(z) 是第二类修正贝塞尔函数。

令

z=(x^_-mu)/s,
(13)

其中 x 是样本均值，mu 是总体均值，得到 学生 t 分布。

另请参阅

学生 t 分布

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Kenney, J. F. 和 Keeping, E. S. “'Student's' z-Distribution.” §7.11 in Mathematics of Statistics, Pt. 2, 2nd ed. Princeton, NJ: Van Nostrand, pp. 174-175, 1951.

在 Wolfram|Alpha 上引用

学生 z 分布

请引用为

Weisstein, Eric W. “学生 z 分布。” 来自 MathWorld--Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/Studentsz-Distribution.html

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