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球谐函数加法定理

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一个 公式 也被称为勒让德加法定理，它通过找到 格林函数 用于 球谐函数 展开并将它们等同于 勒让德多项式 的生成函数而导出。当 gamma 由以下公式定义时

cosgamma=costheta_1costheta_2+sintheta_1sintheta_2cos(phi_1-phi_2),
(1)

自变量为 gamma 的 勒让德多项式 由下式给出

P_l(cosgamma)=(4pi)/(2l+1)sum_(m=-l)^(l)(-1)^mY_l^m(theta_1,phi_1)Y_l^(-m)(theta_2,phi_2)
(2)
=(4pi)/(2l+1)sum_(m=-l)^(l)Y_l^m(theta_1,phi_1)Y^__l^m(theta_2,phi_2)
(3)
=P_l(costheta_1)P_l(costheta_2)+2sum_(m=1)^(l)((l-m)!)/((l+m)!)P_l^m(costheta_1)P_l^m(costheta_2)cos[m(phi_1-phi_2)].
(4)

该公式的另一个版本可以表示为

P_n(xy-sqrt(1-x^2)sqrt(1-y^2)cosalpha) =P_n(x)P_n(y)+2sum_(k=1)^n((-1)^k(n-k)!)/((k+n)!)cos(kalpha)P_n^k(x)P_n^k(y)
(5)

(O. Marichev，私人通讯，2008 年 1 月 15 日)。

另请参阅

缔合勒让德多项式, 勒让德多项式, 球谐函数

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参考文献

Arfken, G. “球谐函数的加法定理。” 《物理学家的数学方法，第 3 版》§12.8。奥兰多，佛罗里达州：Academic Press，第 693-695 页，1985 年。

在 中被引用

球谐函数加法定理

引用为

Weisstein, Eric W. “球谐函数加法定理。” 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/SphericalHarmonicAdditionTheorem.html

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