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拉普拉斯级数

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球谐函数构成一个完备正交系，因此任意实函数 f(theta,phi) 可以根据复球谐函数展开为

f(theta,phi)=sum_(l=0)^inftysum_(m=0)^lA_l^mY_l^m(theta,phi),
(1)

或者根据实球谐函数展开为

f(theta,phi)=sum_(l=0)^inftysum_(m=0)^l[C_l^mY_l^m^c(theta,phi)+S_l^mY_l^m^s(theta,phi)].
(2)

函数 f(theta,phi) 表示为这样的双重级数是一种广义傅里叶级数，称为拉普拉斯级数。

确定 (1) 中系数 A_l^m 的过程类似于确定傅里叶级数中的系数的过程，即，将 (1) 的两边乘以 Y^__(l^')^(m^')(theta,phi)，积分，并使用正交关系 (◇) 以获得

int_0^(2pi)int_0^pif(theta,phi)Y^__(l^')^(m^')(theta,phi)sinthetadthetadphi =sum_(l=0)^inftysum_(m=0)^lint_0^(2pi)int_0^piA_l^mY_l^m(theta,phi)Y^__(l^')^(m^')(theta,phi)sinthetadthetadphi =sum_(l=0)^inftysum_(m=0)^lA_l^mdelta_(ll^')delta_(mm^') =A_l^m.
(3)

以下图序显示了函数 f(theta,phi)=3+cos^3(2theta)+(sinphi)/2 的逐次逼近，该函数在最后一张图中进行了说明。

SphericalHarmonicSeries

拉普拉斯级数也可以用实球谐函数表示为

f(theta,phi)=sum_(l=0)^inftysum_(m=0)^l[C_l^mcos(mphi)+S_l^msin(mphi)]P_l^m(costheta).
(4)

如前所述，使用正交关系

int_0^(2pi)int_0^piP_l^m(costheta)cos(mphi)P_(l^')^(m^')(costheta)cos(m^'phi)sin(theta)dthetadphi =-(2pi(l+m)!)/((2l+1)(l-m)!)delta_(mm^')delta_(ll^') int_0^(2pi)int_0^piP_l^m(costheta)sin(mphi)P_(l^')^(m^')(costheta)sin(m^'phi)sinthetadthetadphi =-(2pi(l+m)!)/((2l+1)(l-m)!)delta_(mm^')delta_(ll^').
(5)

因此 C_l^m 和 S_l^m 由下式给出

C_l^m=-((2l+1)(l-m)!)/(2pi(l+m)!)int_0^(2pi)int_0^pif(theta,phi)P_l^mcosthetacos(mphi)sinthetadthetadphi
(6)
S_l^m=-((2l+1)(l-m)!)/(2pi(l+m)!)int_0^(2pi)int_0^pif(theta,phi)P_l^mcosthetasin(mphi)sinthetadthetadphi.
(7)

另请参阅

完备正交系, 傅里叶-勒让德级数, 傅里叶级数, 广义傅里叶级数, 球谐函数

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请引用为

Weisstein, Eric W. "拉普拉斯级数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/LaplaceSeries.html

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