Wigner 3j 符号

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Wigner -符号，也称为 “ 符号”（Messiah 1962，第 1056 页）或 Wigner 系数（Shore 和 Menzel 1968，第 275 页），是在考虑两个量子系统中耦合的角动量时出现的量。

它们由 Wolfram 语言函数返回ThreeJSymbol[j1, m1, j2, m2, j3, m3]。

符号 (其中已被写为 ) 的参数要么是整数，要么是半整数。此外，它们满足以下选择规则（Messiah 1962，第 1054-1056 页；Shore 和 Menzel 1968，第 272 页）。

1. $m_1 in {-|j_1|,...,|j_1|}$ , $m_2 in {-|j_2|,...,|j_2|}$ , 并且。

2. .

3. 三角不等式。

4. 整数周长规则：是一个整数。

请注意，并非所有这些规则都是独立的，因为规则 (4) 由其他三个规则隐含。如果这些条件不满足，则 =0。

Wigner -符号具有以下对称性

			(1)
			(2)
			(3)
			(4)
			(5)
			(6)

(Messiah 1962，第 1056 页)。

-符号可以使用 Racah 公式计算

(a b c; alpha beta gamma)=(-1)^(a-b-gamma)
×sqrt(Delta(abc))sqrt((a+alpha)!(a-alpha)!(b+beta)!(b-beta)!(c+gamma)!(c-gamma)!)
×sum_(t)((-1)^t)/x

(7)

其中是一个三角系数，

(8)

并且总和是对所有整数求和，对于这些整数，中的阶乘都具有非负参数（Messiah 1962，第 1058 页；Shore 和 Menzel 1968，第 273 页）。特别是，项数等于，其中是九个数字中最小的数

(9)

(Messiah 1962，第 1058 页)。

这些符号服从正交关系

(10)

(11)

其中是 Kronecker delta。

一般公式非常复杂，但一些特定情况是

			(12)
			(13)
			(14)
		${(-1)^gsqrt(((2g-2j_1)!(2g-2j_2)!(2g-2j)!)/((2g+1)!))(g!)/((g-j_1)!(g-j_2)!(g-j)!) if J=2g; 0 if J=2g+1,$	(15)

对于 (Condon 和 Shortley 1951，第 76-77 页；Messiah 1962，第 1058-1060 页；Shore 和 Menzel 1968，第 275 页；Abramowitz 和 Stegun 1972，第 1006-1010 页)。

对于球谐函数，

(16)

对于服从三角条件的值，

intY_(l_1)^(m_1)(theta,phi)Y_(l_2)^(m_2)(theta,phi)Y_(l_3)^(m_3)(theta,phi)sinthetadthetadphi
=sqrt(((2l_1+1)(2l_2+1)(2l_3+1))/(4pi))(l_1 l_2 l_3; 0 0 0)(l_1 l_2 l_3; m_1 m_2 m_3)

(17)

和

(18)

它们可以使用相关的 Clebsch-Gordan 系数 (Condon 和 Shortley 1951，第 74-75 页；Wigner 1959，第 206 页) 或 Racah V 系数表示。

Wigner 符号、Clebsch-Gordan 符号和 Racah -符号之间的联系由下式给出

(19)

(20)

(21)

另请参阅

Clebsch-Gordan 系数, Racah V 系数, Racah W 系数, Wigner 6j 符号, Wigner 9j 符号

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参考资料

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (Eds.). "Vector-Addition Coefficients." §27.9 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 1006-1010, 1972.Biedenharn, L. C. 和 Louck, J. D. The Racah-Wigner Algebra in Quantum Theory. Reading, MA: Addison-Wesley, 1981.Biedenharn, L. C. 和 Louck, J. D. Angular Momentum in Quantum Physics: Theory and Applications. Reading, MA: Addison-Wesley, 1981.Condon, E. U. 和 Shortley, G. The Theory of Atomic Spectra. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1951.de Shalit, A. 和 Talmi, I. Nuclear Shell Theory. New York: Academic Press, 1963.Edmonds, A. R. Angular Momentum in Quantum Mechanics, 2nd ed., rev. printing. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1968.Gordy, W. 和 Cook, R. L. Microwave Molecular Spectra, 3rd ed. New York: Wiley, pp. 804-811, 1984.Messiah, A. "Clebsch-Gordan (C.-G.) Coefficients and '

' Symbols." Appendix C.I in Quantum Mechanics, Vol. 2. Amsterdam, Netherlands: North-Holland, pp. 1054-1060, 1962.Racah, G. "Theory of Complex Spectra. II." Phys. Rev. 62, 438-462, 1942.Rose, M. E. Elementary Theory of Angular Momentum. New York: Dover, 1995.Rotenberg, M.; Bivens, R.; Metropolis, N.; 和 Wooten, J. K. The 3j and 6j Symbols. Cambridge, MA: MIT Press, 1959.Shore, B. W. 和 Menzel, D. H. Principles of Atomic Spectra. New York: Wiley, pp. 275-276, 1968.Sobel'man, I. I. "Angular Momenta." Ch. 4 in Atomic Spectra and Radiative Transitions, 2nd ed. Berlin: Springer-Verlag, 1992.Wigner, E. P. Group Theory and Its Application to the Quantum Mechanics of Atomic Spectra, expanded and improved ed. New York: Academic Press, 1959.

在 Wolfram|Alpha 中引用

Wigner 3j 符号

引用为

Weisstein, Eric W. "Wigner 3j-Symbol." 来自 MathWorld--一个 Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Wigner3j-Symbol.html

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