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矢量球谐函数

球谐函数可以通过寻找一个标量函数 psi 和一个常向量 c 来推广到矢量球谐函数，使得

M=del x(cpsi)
(1)
=psi(del xc)+(del psi)xc
(2)
=(del psi)xc
(3)
=-cxdel psi,
(4)

所以

del ·M=0.
(5)

现在交换微分的顺序，并利用乘法常数可以在导数内外移动的事实，得到

del ^2M=del ^2(cxpsi)
(6)
=del xdel ^2(cpsi)
(7)
=del x(cdel ^2psi)
(8)

和

k^2M=k^2del x(cpsi)
(9)
=del x(ck^2psi).
(10)

将它们放在一起得到

del ^2M+k^2M=del x[c(del ^2psi+k^2psi)],
(11)

所以如果 psi 满足标量亥姆霍兹微分方程，则 M 满足矢量亥姆霍兹微分方程

del ^2psi+k^2psi=0.
(12)

构造另一个矢量函数

N=(del xM)/k,
(13)

它也满足矢量亥姆霍兹微分方程，因为

del ^2N=1/kdel ^2(del xM)
(14)
=1/kdel x(del ^2M)
(15)
=1/kdel x(-k^2M)
(16)
=-kdel xM
(17)
=-k^2N,
(18)

这给出

del ^2N+k^2N=0.
(19)

我们有附加的恒等式

del xN=1/kdel x(del xM)
(20)
=1/kdel (del ·M)-1/kdel ·(del M)
(21)
=-1/kdel ·(del M)
(22)
=-(del ^2M)/k
(23)
=kM.
(24)

在这种形式主义中，psi 被称为生成函数，c 被称为引导向量。生成函数的选择由标量方程的对称性决定，即选择它来求解所需的标量微分方程。如果 M 取为

M=del x(rpsi),
(25)

其中 r 是半径向量，那么 M 是球坐标中矢量波动方程的解。如果我们想要与半径向量相切的矢量解，

M·r=r·(del psixc)
(26)
=(del psi)·(cxr)
(27)
=0,
(28)

所以

cxr=0
(29)

我们可以取

c=r
(30)

(Arfken 1985, pp. 707-711; Bohren and Huffman 1983, p. 88)。

有许多惯例正在使用。Hill（1954）定义

V_l^m=-sqrt((l+1)/(2l+1))Y_l^mr^^+1/(sqrt((l+1)(2l+1)))(partialY_l^m)/(partialtheta)theta^^+(iMsintheta)/(sqrt((l+1)(2l+1)))Y_l^mphi^^
(31)
W_l^m=sqrt(l/(2l+1))Y_l^mr^^+1/(sqrt(l(2l+1)))(partialY_l^m)/(partialtheta)theta^^+(iM)/(sqrt(l(2l+1))sintheta)Y_l^mphi^^
(32)
X_l^m=-M/(sqrt(l(l+1))sintheta)Y_l^mtheta^^-i/(sqrt(l(l+1)))(partialY_l^m)/(partialtheta)phi^^.
(33)

Morse 和 Feshbach (1953) 定义了被称为 B、C 和 P 的矢量谐波，使用了相当复杂的表达式。

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Arfken, G. "矢量球谐函数。" §12.11 在 物理学家的数学方法，第 3 版。 奥兰多，佛罗里达州：学术出版社，pp. 707-711, 1985.Blatt, J. M. 和 Weisskopf, V. "矢量球谐函数。" 附录 B，§1 在 理论核物理。 纽约：Wiley，pp. 796-799, 1952.Bohren, C. F. 和 Huffman, D. R. 小粒子对光的吸收和散射。 纽约：Wiley, 1983.Hill, E. H. "矢量球谐函数理论。" Amer. J. Phys. 22, 211-214, 1954.Jackson, J. D. 经典电动力学，第 2 版。 纽约：Wiley，pp. 744-755, 1975.Morse, P. M. 和 Feshbach, H. 理论物理方法，第二部分。 纽约：McGraw-Hill，pp. 1898-1901, 1953.

在 Wolfram|Alpha 上引用

矢量球谐函数

引用此内容为

Weisstein, Eric W. “矢量球谐函数。” 来自 MathWorld--Wolfram 网络资源。https://mathworld.net.cn/VectorSphericalHarmonic.html

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