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斯丘斯数

斯丘斯数（或称第一斯丘斯数）是指当 Sk_1 大于某个值时，pi(n)<li(n) 必定不成立（假设 黎曼猜想 为真），其中 pi(n) 是 素数计数函数，li(n) 是 对数积分。

艾萨克·阿西莫夫在他的科普文章 “斯丘斯化！” (1974) 中介绍了斯丘斯数。

1912 年，利特尔伍德证明了 Sk_1 的存在性（Hardy 1999, p. 17），以及上限

Sk_1=e^(e^(e^(79))) approx 10^(10^(10^(34)))

随后斯丘斯 (Skewes) (1933) 找到了该上限。此后，莱曼 (Lehman) 在 1966 年将斯丘斯数缩小至 1.165×10^(1165)（Conway 和 Guy 1996；Derbyshire 2004, p. 237），特·里勒 (te Riele) (1987) 将其缩小至 e^(e^(27/4)) approx 8.185×10^(370)，贝斯 (Bays) 和哈德逊 (Hudson) (2000; Granville 2002; Borwein 和 Bailey 2003, p. 65; Havil 2003, p. 200; Derbyshire 2004, p. 237) 将其缩小至小于 1.39822×10^(316)。贝斯和哈德逊的结果表明，不等式可能在 10^(176) 附近失效，并因此确定了在 1.617×10^(9608) 附近存在大范围的违例（Derbyshire 2004, p. 237）。德米歇尔 (Demichel) 的最新研究表明，第一次交叉点大约发生在 1.397162914×10^(316) 附近，在这个值之前再次发生交叉的概率微乎其微，并且在存在这种风险的可疑区域，这个概率实际上可以显著降低，这些结果几乎可以肯定是目前最好的结果（P. Demichel，私人通讯，2005 年 8 月 22 日）。

严格来说，罗瑟 (Rosser) 和舍恩菲尔德 (Schoenfeld) (1962) 证明了在 10^8 以下没有交叉点，布伦特 (Brent) (1975) 随后将这个下限提高到 8×10^(10)，科特尼克 (Kotnik) (2008) 提高到 10^(14)。

1914 年，利特尔伍德证明了该不等式实际上必定会无限次地不成立。

第二斯丘斯数 Sk_2 (Skewes 1955) 是指当 pi(n)<li(n) 必定不成立时，假设 黎曼猜想 为假。它比斯丘斯数 Sk_1 大得多，

Sk_2=10^(10^(10^(10^3))).

另请参阅

葛立恒数, 对数积分, 素数计数函数, 黎曼猜想

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参考文献

Asimov, I. "Skewered!" 大小之事。 纽约：Ace Books, 1976。Asimov, I. "Science: Skewered!" Mag. Fantasy Sci. Fiction. 1974 年 11 月。Ball, W. W. R. 和 Coxeter, H. S. M. 数学娱乐与散文，第 13 版。 纽约：Dover, p. 63, 1987。Bays, C. 和 Hudson, R. H. "最小的 x 且 pi(x)>li(x) 的新界限。" Math. Comput. 69, 1285-1296, 2000。Boas, R. P. "斯丘斯数。" 收录于 数学李子 (Ed. R. Honsberger)。华盛顿特区：Math. Assoc. Amer., 1979。Borwein, J. 和 Bailey, D. 实验数学：21 世纪的合理推理。 韦尔斯利，马萨诸塞州：A K Peters, p. 65, 2003。Brent, R. P. "素数和孪生素数分布的不规则性。" Math. Comput. 29, 43-56, 1975。Conway, J. H. 和 Guy, R. K. 数之书。 纽约：Springer-Verlag, p. 61, 1996。Crandall, R. 和 Pomerance, C. 素数：计算视角。 纽约：Springer-Verlag, 2001 中的 Ex. 1.35。Demichel, P. "素数计数函数及相关主题。" http://demichel.net/patrick/li_crossover_pi.pdf.Derbyshire, J. 素数迷恋：伯恩哈德·黎曼与数学中最伟大的未解难题。 纽约：Penguin, p. 236, 2004。Granville, A. "素数的可能性和量子混沌。" 2002。 http://www.msri.org/ext/Emissary/EmissarySpring02.pdf.Hardy, G. H. 拉马努金：关于其生活和工作启发的十二次讲座，第 3 版。 纽约：Chelsea, pp. 17 和 21, 1999。Havil, J. 伽玛：探索欧拉常数。 普林斯顿，新泽西州：普林斯顿大学出版社，pp. 200 和 209, 2003。Kotnik, T. "素数计数函数及其解析近似。" Adv. Comput. Math. 29, 55-70, 2008。Lehman, R. S. "关于差值 pi(x)-li(x)。" Acta Arith. 11, 397-410, 1966。Littlewood, J. E. 利特尔伍德杂集。 剑桥，英格兰：剑桥大学出版社，pp. 110-112, 1986。Rosser, J. B. 和 Schoenfeld, L. "素数的一些函数的近似公式。" Ill. J. Math. 6, 64-94, 1962。Skewes, S. "关于差值 pi(x)-li(x)。" J. London Math. Soc. 8, 277-283, 1933。Skewes, S. "关于差值 pi(x)-li(x)。II。" Proc. London Math. Soc. 5, 48-70, 1955。te Riele, H. J. J. "关于差值 pi(x)-li(x) 的符号。" Math. Comput. 48, 323-328, 1987。Wagon, S. Mathematica 在行动。 纽约：W. H. Freeman, p. 30, 1991。

在 Wolfram|Alpha 中被引用

斯丘斯数

请引用为

Weisstein, Eric W. “斯丘斯数。” 来自 MathWorld-- Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/SkewesNumber.html

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