主题
Search

伯特兰-切比雪夫定理

DOWNLOAD Mathematica Notebook下载 Wolfram Notebook

伯特兰-切比雪夫定理，也称为伯特兰猜想或切比雪夫定理，指出如果 n>3，则在 n 和 2n-2 之间总是至少存在一个质数 p。等价地，如果 n>1，那么总是至少存在一个质数 p 使得 n<p<2n。这一猜想最初由伯特兰于 1845 年提出 (Bertrand 1845; Nagell 1951, p. 67; Havil 2003, p. 25)。切比雪夫于 1850 年使用非初等方法证明了该定理 (Chebyshev 1854; Havil 2003, p. 25; Derbyshire 2004, p. 124)，因此有时也称为切比雪夫定理。第一个初等证明是由拉马努金给出的，后来在 1932 年被 19 岁的埃尔德什改进。

关于伯特兰-切比雪夫定理有一首短诗说，“切比雪夫说过，但我再说一遍；在 n 和 2n 之间总有一个质数。” 虽然通常将这句话归功于埃尔德什或一些其他匈牙利数学家在埃尔德什年轻时重新证明该定理时 (Hoffman 1998)，但实际上这句话出自 N. J. Fine (Schechter 1998)。

这个结果的一个扩展是，如果 n>k，那么在序列 n, n+1, ..., n+k-1 中存在一个包含质因数 >k 的数。（情况 n=k+1 对应于伯特兰-切比雪夫定理。）这首先由西尔维斯特证明，然后由舒尔独立证明，埃尔德什给出了一个简单的证明 (1934; Hoffman 1998, p. 37)

对于 n=1, 2, ...， n 和 2n-2 之间的质数个数为 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, ... (OEIS A077463)，而 n 和 2n 之间的质数个数为 0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 3, 4, 3, 3, ... (OEIS A060715)。对于 n=1, 2, ...，NP(n) 的值为 2, 3, 5, 5, 7, 7, 11, 11, 11, 11, 13, 13, 17, 17, 17, 17, 19, ... (OEIS A007918)，其中 NP(n) 是下一个质数函数。

在证明伯特兰-切比雪夫定理之后，拉马努金 (1919) 证明了广义化形式，即 pi(x)-pi(x/2)>=1, 2, 3, 4, 5, ... 如果 x>=2, 11, 17, 29, 41, ... (OEIS A104272)， 分别地，其中 pi(x) 是素数计数函数。这些数有时被称为拉马努金素数。对于所有 x>=2，情况 pi(x)-pi(x/2)>=1 是伯特兰-切比雪夫定理。

一个相关的问题是找到 theta 的最小值，使得对于足够大的 n，在 n 和 n+O(n^theta) 之间至少存在一个质数 (Berndt 1994)。已知的最小值是 theta=6/11+epsilon (Lou and Yao 1992)。

参见

德波利尼亚克猜想, 兰道问题, 下一个质数, 质数, 拉马努金素数

本条目部分内容由 Jonathan Sondow (作者链接) 贡献

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Aigner, M. and Ziegler, G. M. Proofs from the Book, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, 2000.Berndt, B. C. Ramanujan's Notebooks, Part IV. New York: Springer-Verlag, p. 135, 1994.Bertrand, J. "Mémoire sur le nombre de valeurs que peut prendre une fonction quand on y permute les lettres qu'elle renferme." J. l'École Roy. Polytech. 17, 123-140, 1845.Chebyshev, P. "Mémoire sur les nombres premiers." Mém. Acad. Sci. St. Pétersbourg 7, 17-33, (1850) 1854. Reprinted as §1-7 in Œuvres de P. L. Tschebychef, Tome I. St. Pétersbourg, Russia: Commissionaires de l'Academie Impériale des Sciences, pp. 51-64, 1899.Derbyshire, J. Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics. New York: Penguin, 2004.Dickson, L. E. "Bertrand's Postulate." History of the Theory of Numbers, Vol. 1: Divisibility and Primality. New York: Dover, pp. 435-436, 2005.Erdős, P. "Ramanujan and I." In Proceedings of the International Ramanujan Centenary Conference held at Anna University, Madras, Dec. 21, 1987. (Ed. K. Alladi). New York: Springer-Verlag, pp. 1-20, 1989.Erdős, P. "A Theorem of Sylvester and Schur." J. London Math. Soc. 9, 282-288, 1934.Hardy, G. H. and Wright, E. M. "Bertrand's Postulate and a 'Formula' for Primes." §22.3 in An Introduction to the Theory of Numbers, 5th ed. Oxford, England: Clarendon Press, pp. 343-345 and 373, 1979.Havil, J. Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2003.Hoffman, P. The Man Who Loved Only Numbers: The Story of Paul Erdős and the Search for Mathematical Truth. New York: Hyperion, 1998.Lou, S. and Yau, Q. "A Chebyshev's Type of Prime Number Theorem in a Short Interval (II)." Hardy-Ramanujan J. 15, 1-33, 1992.Nagell, T. Introduction to Number Theory. New York: Wiley, p. 70, 1951.Ramanujan, S. "A Proof of Bertrand's Postulate." J. Indian Math. Soc. 11, 181-182, 1919.Ramanujan, S. Collected Papers of Srinivasa Ramanujan (Ed. G. H. Hardy, P. V. S. Aiyar, and B. M. Wilson). Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 208-209, 2000.Schechter, B. My Brain is Open: The Mathematical Journeys of Paul Erdős. New York: Simon and Schuster, 1998.Séroul, R. Programming for Mathematicians. Berlin: Springer-Verlag, pp. 7-8, 2000.Sloane, N. J. A. Sequences A007918, A060715, A077463, and A104272 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

请引用本文为

Sondow, Jonathan 和 Weisstein, Eric W. “伯特兰-切比雪夫定理。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/BertrandsPostulate.html

主题分类