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(-1,0,1)-矩阵

一个 (-1,0,1)-矩阵是一个元素仅由数字 -1、0 或 1 组成的矩阵。不同 (-1,0,1)-n×n 矩阵（计数行和列置换、转置以及乘以 -1 作为等价）对于 n=2, 4, 6, ... 具有 2n 个不同行和列和的数量分别为 1, 4, 39, 2260, 1338614, ... (OEIS A049475)。例如，2×2 矩阵由下式给出

[-1 -1; 0 1].

为了从这些计数中获得总数（假设 0 不是缺失的和，这对于 n<=10 成立），乘以 (2n!)^2。一般来说，如果一个 n×n (-1,0,1)-矩阵具有 2n 个不同的列和行和（统称为线和；Bodendiek 和 Burosch 1995），则

1. n 是偶数。

2. 在 {-n,1-n,2-n,...,n} 中，未作为线和出现的数字是 -n 或 n。

3. 在 n 个最大的线和中，一半是列和，一半是行和。

对于一个 n×n (-1,0,1)-矩阵，最大可能的行列式 (Hadamard 最大行列式问题) 与 (-1,1)-矩阵 相同，即 1, 2, 4, 16, 48, 160, ... (OEIS A003433; Ehrlich 1964, Brenner 和 Cummings 1972)，对于 n=1, 2, .... 具有最大行列式的 n×n (-1,0,1)-矩阵的数量为 1, 4, 240, 384, 30720, ... (OEIS A051753)。

另请参阅

交替符号矩阵, C-矩阵, 整数矩阵

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参考文献

Bodendiek, R. 和 Burosch, G. "Antimagic 0,1,-1 Matrix Problem 的解。" Aufgabe 5.30 in Streifzüge durch die Kombinatorik: Aufgaben und Lösungen aus dem Schatz der Mathematik-Olympiaden. 海德堡, 德国: Spektrum Akademischer Verlag, pp. 250-253, 1995.Brenner, J. 和 Cummings, L. "Hadamard 最大行列式问题。" Amer. Math. Monthly 79, 626-630, 1972.Ehrlich, H. "二进制矩阵的行列式估计。" Math. Z. 83, 123-132, 1964.Sloane, N. J. A. 序列 A003433/M1291, A049475, 和 A051753，来自 "整数序列在线百科全书"。

在 上被引用

(-1,0,1)-矩阵

请引用为

Weisstein, Eric W. "(-1,0,1)-矩阵。" 来自 MathWorld--一个 资源。 https://mathworld.net.cn/-101-Matrix.html

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