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模判别式

定义 q=e^(2piitau) (参见常用的 nome)，其中 tau 在 上半平面 中。则模判别式定义为

Delta(tau)=(2pi)^(12)qproduct_(r=1)^infty(1-q^r)^(24).
(1)

然而，需要注意的是，一些作者在定义判别式时省略了 (2pi)^(12) 的因子 (Rankin 1977, p. 196; Berndt 1988, p. 326; Milne 2000)。

如果 g_2(omega_1,omega_2) 和 g_3(omega_1,omega_2) 是 魏尔斯特拉斯椭圆函数 P(z|omega_1,omega_2)=P(z;g_2,g_3) 的 椭圆不变量，其周期为 omega_1 和 omega_2，则判别式定义为

Delta(omega_1,omega_2)=g_2^3-27g_3^2.
(2)

令 tau=omega_2/omega_1，则

Delta(tau)=Delta(1,tau)
(3)
=omega_1^(12)Delta(omega_1,omega_2)
(4)
=g_2^3(tau)-27g_3^2(tau).
(5)

上半平面 中的 傅里叶级数 Delta(tau) 对于 tau in H 是

Delta(tau)=(2pi)^(12)sum_(n=1)^inftytau(n)e^(2piintau),
(6)

其中 tau(n) 是 tau 函数，且 tau(n) 是整数 (Apostol 1997, p. 20)。判别式也可以用 戴德金 eta 函数 eta(tau) 表示为

Delta(tau)=(2pi)^(12)[eta(tau)]^(24)
(7)

(Apostol 1997, p. 51)。

参见

戴德金 Eta 函数, 椭圆不变量, 克莱因绝对不变量, Nome, Tau 函数, 魏尔斯特拉斯椭圆函数

使用 探索

参考文献

Apostol, T. M. “判别式 Delta” 和 “Delta(tau) 和 J(tau) 的傅里叶展开式”。§1.11 和 1.15，见 数论中的模函数与狄利克雷级数》，第二版 New York: Springer-Verlag, pp. 14 和 20-22, 1997.Berndt, B. C. 拉马努金笔记本》，第二部分。 New York: Springer-Verlag, p. 326, 1988.Brezhnev, Y. V. “均匀化：关于伯恩赛德曲线 y^2=x^5-x。” 9 Dec 2001. http://arxiv.org/abs/math.CA/0111150.Milne, S. C. “艾森斯坦级数的汉克尔行列式。” 13 Sep 2000. http://arxiv.org/abs/math.NT/0009130.Nesterenko, Yu. V. 代数独立性课程：1999 年 IHP 讲座。 Unpublished manuscript. 1999.Rankin, R. A. 模形式与函数》。 Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 196, 1977.

在 上被引用

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请引用为

魏斯stein, Eric W. “模判别式”。来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ModularDiscriminant.html

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