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Hecke算符


一族算符,将每个空间 M_k模形式映射到自身。对于固定的整数 k 和任意正整数 n,Hecke算符 T_n 定义在权重为 k 的整模形式集合 M_k 上,定义如下:

 (T_nf)(tau)=n^(k-1)sum_(d|n)d^(-k)sum_(b=0)^(d-1)f((ntau+bd)/(d^2)).
(1)

对于n素数 p,算符简化为

 (T_pf)(tau)=p^(k-1)f(ptau)+1/psum_(b=0)^(p-1)f((tau+b)/p).
(2)

如果 f in M_k 具有傅里叶级数

 f(tau)=sum_(m=0)^inftyc(m)e^(2piimtau),
(3)

T_nf 具有傅里叶级数

 (T_nf)(tau)=sum_(m=0)^inftygamma_n(m)e^(2piimtau),
(4)

其中

 gamma_n(m)=sum_(d|(n,m))d^(k-1)c((mn)/(d^2))
(5)

(Apostol 1997, 第 121 页)。

如果 (m,n)=1,则 Hecke 算符服从复合性质

 T_mT_n=T_(mn).
(6)

M_k 上的任意两个 Hecke 算符 T(n)T(m) 彼此可交换,并且

 T(m)T(n)=sum_(d|(m,n))d^(k-1)T((mn)/(d^2))
(7)

(Apostol 1997, 第 126-127 页)。

M_k 的维度为 1 时,每个 Hecke 算符 T_n 都有特征形式,因此对于 k=4, 6, 8, 10 和 14,特征形式分别是 Eisenstein 级数 G_4, G_6, G_8, G_(10)G_(14)。 类似地,当 尖点形式集合 M_(k,0) 的维度为 1 时,每个 T_n 都有特征形式,因此对于 k=12, 16, 18, 20, 22 和 26,特征形式分别是 Delta, DeltaG_4, DeltaG_6, DeltaG_8, DeltaG_(10)DeltaG_(14),其中 DeltaWeierstrass 椭圆函数模判别式 (Apostol 1997, 第 130 页)。


另请参阅

Hecke 代数, 模形式

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参考文献

Apostol, T. M. "Hecke 算符." §6.7 in *数论中的模函数与狄利克雷级数, 第二版.* New York: Springer-Verlag, pp. 120-122, 1997.

在 中被引用

Hecke算符

请引用为

Weisstein, Eric W. "Hecke 算符." 来自 Web 资源. https://mathworld.net.cn/HeckeOperator.html

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