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二次映射

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二次映射是如下形式的二次递推方程

x_(n+1)=a_2x_n^2+a_1x_n+a_0.
(1)

虽然一些二次映射可以以闭合形式求解（例如，logistic 映射的三个可解情况），但大多数都不能。

一个具有闭合形式解的二次映射的简单例子是

x_n=x_(n-1)^2
(2)

其中 x_0=2，其解为 x_n=2^(2^n)，当 n=0, 1, ... 时，前几项为 2, 4, 16, 256, 65536, 4294967296, ... (OEIS A001146)。

另一个例子是高度 <=n 的“强”二叉树的数量，由下式给出

y_n=y_(n-1)^2+1
(3)

其中 y_0=1。 前几项是 2, 5, 26, 677, 458330, 210066388901, 44127887745906175987802, ... (OEIS A003095) 这个递推关系具有“解析”解

y_n=|_c^(2^n)_|,
(4)

其中

c=exp[sum_(j=0)^(infty)2^(-j-1)ln(1+y_j^(-2))]
(5)
=1.502836801...
(6)

(OEIS A077496) 且 |_x_| 是向下取整函数（Aho 和 Sloane 1973）。

第三个例子是数字 1 最接近的严格下逼近，

S_n=sum_(i=1)^n1/(z_i),
(7)

其中 1<z_1<...<z_n 是整数。 解由递推关系给出

z_n=z_(n-1)^2-z_(n-1)+1,
(8)

其中 z_1=2。 得到的序列被称为 Sylvester 序列，前几项为 2, 3, 7, 43, 1807, 3263443, 10650056950807, ... (OEIS A000058)。 这有一个闭合解为

z_n=|_d^(2^n)+1/2_|
(9)

其中

d=1/2sqrt(6)exp{sum_(j=1)^(infty)2^(-j-1)ln[1+(2z_j-1)^(-2)]}
(10)
=1.2640847353...
(11)

(OEIS A076393；Aho 和 Sloane 1973，Vardi 1991，Graham 等人 1994)。

著名的递推关系

x_(n+1)=x_n^2+c
(12)

通常被称为“二次映射”的这个递推关系通常不能以闭合形式求解。 这是定义 Mandelbrot 集合的复映射的实数版本。 此映射的不动点发生在

x^((1))=[x^((1))]^2+c
(13)
(x^((1)))^2-x^((1))+c=0
(14)
x_+/-^((1))=1/2(1+/-sqrt(1-4c)).
(15)

周期为 2 的不动点发生在

x_(n+2)=x_(n+1)^2+c
(16)
=(x_n^2+c)^2+c
(17)
=x_n^4+2cx_n^2+(c^2+c)
(18)
=x_n.
(19)

去掉下标并因式分解得到

x^4+2x^2-x+(cx^2+c)=(x^2-x+c)(x^2+x+1+c)=0.
(20)

因此解发生在

x_+/-^((2))=1/2(1+/-sqrt(-3-4c)).
(21)

周期为 3 的不动点发生在

x^6+x^5+(3c+1)x^4+(2c+1)x^3+(c^2+3c+1)x^2 +(c+1)^2x+(c^3+2c^2+c+1)=0.
(22)

另一个具有闭合形式解的二次映射的例子是以下情况

a_0=((a_1-4)(a_1+2))/(4a_2).
(23)

这有解

x_n=(r^(2^n)+r^(-2^n)-1/2a_1)/(a_2),
(24)

其中

r=1/4a_1+1/2x_0a_2+1/4sqrt((a_1+4+2x_0a_2)(a_1-4+2x_0a_2)).
(25)

类似地，以下情况

a_0=(a_1(a_1-2))/(4a_2)
(26)

有解

x_n=((2r)^(2^n)-1/2a_1)/(a_2),
(27)

其中

r=1/4a_1+1/2x_0a_2
(28)

(Little)。

在原点具有椭圆不动点的最一般的二阶二维映射具有以下形式

x^'=xcosalpha-ysinalpha+a_(20)x^2+a_(11)xy+a_(02)y^2
(29)
y^'=xsinalpha+ycosalpha+b_(20)x^2+b_(11)xy+b_(02)y^2.
(30)

为了保持面积不变，该映射的行列式必须为 1，从而将独立参数的数量从七个减少到三个。 然后可以通过缩放和旋转将映射置于标准形式，得到

x^'=xcosalpha-ysinalpha+x^2sinalpha
(31)
y^'=xsinalpha+ycosalpha-x^2cosalpha.
(32)

逆映射是

x=x^'cosalpha+y^'sinalpha
(33)
y=-x^'sinalpha+y^'cosalpha+(x^'cosalpha+y^'sinalpha)^2.
(34)

不动点由下式给出

x_i^2sinalpha+2x_icosalpha-x_(i-1)-x_(i+1)=0
(35)

对于 i=0, ..., n-1。

另请参阅

Bogdanov 映射, Hénon 映射, Julia 集, 线性递推方程, Logistic 映射, Lozi 映射, Mandelbrot 集, 二次的, 二次方程, 二次公式, 二次递推方程, 递推方程, 奇异吸引子, Sylvester 序列

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参考文献

Aho, A. V. 和 Sloane, N. J. A. "一些双重指数序列。" Fib. Quart. 11, 429-437, 1973。Finch, S. R. "二次递推常数。" §6.10 in 数学常数。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 443-448, 2003。Graham, R. L.; Knuth, D. E.; 和 Patashnik, O. 《具体数学：计算机科学基础》，第 2 版中的研究问题 4.65。 Reading, MA: Addison-Wesley, 1994。Little, M. "二次映射特殊情况的新颖精确解。" http://homepage.ntlworld.com/little_mm/quadrams.html。Sloane, N. J. A. “整数序列在线百科全书”中的序列 A000058/M0865, A001146/M1297, A003095/M1544, A076393, 和 A077496。Sprott, J. C. "奇异吸引子的自动生成。" Comput. & Graphics 17, 325-332, 1993。 重印于混沌与分形，计算机图形之旅：十年高级研究汇编 (Ed. C. A. Pickover)。 Amsterdam, Netherlands: Elsevier, pp. 53-60, 1998。Vardi, I. "所有欧几里得数都是无平方因子数吗？" 和 "PowerMod 来救援。" 《Mathematica 中的计算娱乐》中的 §5.1 和 5.2。 Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 82-89, 1991。

在 Wolfram|Alpha 中被引用

二次映射

引用为

Weisstein, Eric W. "二次映射。" 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/QuadraticMap.html

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