摆线

摆线是半径为 a 的圆在一个直线上滚动时，圆周上一点的轨迹。伽利略于 1599 年研究并命名了它。伽利略试图通过称量切割成摆线形状的金属片来找到面积。托里切利、费马和笛卡尔都找到了面积。罗伯瓦尔在 1634 年、雷恩在 1658 年、惠更斯在 1673 年和约翰·伯努利在 1696 年也研究了摆线。罗伯瓦尔和雷恩找到了弧长（MacTutor 档案馆）。齿轮齿也由摆线制成，这是德扎格在 17 世纪 30 年代首次提出的（Cundy and Rollett 1989）。

1696 年，约翰·伯努利挑战其他数学家找到解决最速降线问题的曲线，他知道答案是摆线。莱布尼茨、牛顿、雅各布·伯努利和洛必达都解决了伯努利的挑战。摆线也解决了等时降线问题，正如《白鲸记》中的以下段落所暗示的那样：“[炼油锅] 也是一个进行深刻数学冥想的地方。在皮쿼德号左舷的炼油锅里，皂石勤奋地在我周围旋转，我第一次间接地被一个非凡的事实所震撼，即在几何学中，所有沿着摆线滑动的物体，例如我的皂石，都将在完全相同的时间内从任何点下降”（梅尔维尔 1851 年）。由于摆线在 17 世纪频繁引发数学家之间的争吵，摆线被称为“几何学家的海伦”（Boyer 1968，第 389 页）。

当光线平行于 y 轴时，摆线反射线是具有两倍拱形的摆线。摆线的径曲线是一个圆。摆线的渐屈线和渐伸线是相同的摆线。

如果摆线在原点有一个尖点，并且它的峰向上，则其参数方程为

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峰在对应于 的连续倍数的 值处完成，高度为 ，长度为 。消除上述方程中的 得到笛卡尔方程

(3)

这对于 中的 y 有效，并给出摆线的第一个峰的前半部分。隐式笛卡尔方程由下式给出

(4)

摆线第一个峰的弧长、曲率和切线角为

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对于第一个峰，

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对于摆线的单个峰，曲线下的弧长和面积因此为

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