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梅勒的埃尔米特多项式公式

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sum_(n=0)^infty(H_n(x)H_n(y))/(n!)(1/2w)^n=(1-w^2)^(-1/2)exp[(2xyw-(x^2+y^2)w^2)/(1-w^2)],
(1)

其中 H_n(x) 是一个 埃尔米特多项式 (Watson 1933; Erdélyi 1938; Szegö 1975, p. 380)。生成函数

sum_(n=0)^infty(H_n(x))/(|_n/2_|!)w^n=(1+2xw+4w^2)/((1+4w^2)^(3/2))exp((4x^2w^2)/(1+4w^2)),
(2)

其中 |_x_| 是 向下取整函数，可以从此公式推导出来 (Doetsch 1930; Szegö 1975, p. 380)。更直接的求和，分母中用 |_n/2_| 替换为 n 后，由下式给出

sum_(n=0)^infty(H_n(x))/(n!)w^n=e^(-w^2+2wx).
(3)

另请参阅

埃尔米特多项式

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Almqvist, G. 和 Zeilberger, D. "积分符号下微分法。" J. Symb. Comput. 10, 571-591, 1990.Doetsch, G. "埃尔米特多项式的积分方程性质。" Math. Z. 32, 587-599, 1930.Erdélyi, A. "埃尔米特多项式乘积的生成函数。" Math. Z. 44, 201-211, 1938.Foata, D. "梅勒公式的组合证明。" J. Comb. Th. Ser. A 24, 250-259, 1978.Petkovšek, M.; Wilf, H. S.; 和 Zeilberger, D. A=B. Wellesley, MA: A K Peters, pp. 194-195, 1996. http://www.cis.upenn.edu/~wilf/AeqB.html.Rainville, E. D. 特殊函数。 New York: Chelsea, p. 198, 1971.Szegö, G. 正交多项式，第 4 版。 Providence, RI: Amer. Math. Soc., p. 380, 1975.Watson, G. N. "关于多项式生成函数的注释：（2）埃尔米特多项式。" J. London Math. Soc. 8, 194-199, 1933.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

梅勒的埃尔米特多项式公式

请这样引用

Weisstein, Eric W. “梅勒的埃尔米特多项式公式。” 来自 MathWorld——Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/MehlersHermitePolynomialFormula.html

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