主题
Search

结式

DOWNLOAD Mathematica Notebook下载 Wolfram Notebook

给定一个多项式

p(x)=a_nx^n+a_(n-1)x^(n-1)+...+a_1x+a_0
(1)

其阶数为 n，根为 alpha_i, i=1, ..., n，以及一个多项式

q(x)=b_mx^m+b_(m-1)x^(m-1)+...+b_1x+b_0
(2)

其阶数为 m，根为 beta_j, j=1, ..., m，则结式 rho(p,q)，也记作 R(p,q)，也称为消去式，定义为

rho(p,q)=a_n^mb_m^nproduct_(i=1)^nproduct_(j=1)^m(alpha_i-beta_j)
(3)

（Trott 2006，第 26 页）。

令人惊奇的是，结式也可以通过对应的西尔维斯特矩阵的行列式给出。

克罗内克在 1885 年夏天就结式进行了一系列讲座 (O'Connor and Robertson 2005)。

结式的一个重要应用是从两个多项式方程组中消去一个变量（Trott 2006，第 26 页）。

可以使用 Wolfram 语言函数计算两个多项式的结式结式[poly1, poly2, var]。此命令接受以下方法自动, 西尔维斯特矩阵, 贝祖矩阵, 子结式，以及模运算，其中最佳选择在很大程度上取决于所考虑的具体多项式对，并且通常需要一些实验。对于整数上的高阶单变量多项式，选项设置模运算通常是最快的（Trott 2006，第 29 页）。

存在一种类似于欧几里得算法的算法，用于计算结式（Pohst 和 Zassenhaus 1989）。

一些简单多项式对的结式包括

rho(x-a,x-b)=a-b
(4)
rho((x-a)(x-b),x-c)=(a-c)(b-c)
(5)
rho((x-a)(x-b),(x-c)(x-d))=(a-c)(b-c)(a-d)(b-d).
(6)

给定 p 和 q，则

h(x)=rho(q(t),p(x-t))
(7)

是一个阶数为 mn 的多项式，其根为所有形如 的 和 alpha_i+beta_j 的和。

另请参阅

Gröbner 基, 多元结式, 多项式判别式, 预解式, 子结式, 西尔维斯特矩阵

使用 探索

参考文献

Apostol, T. M. "Resultants of Cyclotomic Polynomials." Proc. Amer. Math. Soc. 24, 457-462, 1970.Apostol, T. M. "The Resultant of the Cyclotomic Polynomials F_m(ax) and F_n(bx)." Math. Comput. 29, 1-6, 1975.Bikker, P. and Uteshev, A. Y. "On the Bézout Construction of the Resultant." J. Symb. Comput. 28, 45-88, 1999.Bykov, V.; Kytmanov, A.; Lazman, M.; and Passare, M. (Eds.). Elimination Methods in Polynomial Computer Algebra. Dordrecht, Netherlands: Kluwer, 1998.Childs, L. A Concrete Introduction to Higher Algebra. New York: Springer-Verlag, 1992.Cohen, H. "Resultants and Discriminants." §3.3.2 in A Course in Computational Algebraic Number Theory. New York: Springer-Verlag, pp. 119-123, 1993.Cohen, J. S. Computer Algebra and Symbolic Computation: Mathematical Methods. Wellesley: A K Peters, 2003.Davenport, J. H.; Siret, Y.; and Tournier, E. Computer Algebra: Systems and Algorithms for Algebraic Computations. London: Academic Press, 1993.Gelfand, I. M.; Kapranov, M.; and Zelevinsky, A. Discriminants, Resultants and Multidimensional Resultants. Boston: Birkhäuser, 1994.Maculay, F. S. The Algebraic Theory of Modular Systems. Cambridge: Cambridge University Press, 1916.O'Connor, J. J. and Robertson, E. F. "Henry Burchard Fine." August 2005. http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Fine_Henry.html.Pohst, M. and Zassenhaus, H. Algorithmic Algebraic Number Theory. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1989.Prasalov, V. V. Polynomials. Berlin: Springer, 2004.Simpson, J. A. and Weiner, E. S. C. (Preparers). The Compact Oxford English Dictionary, 2nd ed. Oxford, England: Clarendon Press, p. 503, 1992.Sturmfels, B. In Applications of Computational Algebraic Geometry. American Mathematical Society Short Course January 6-7, 1997 San Diego, California (Ed. D. A. Cox and B. Sturmfels). Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1997.Trott, M. The Mathematica GuideBook for Symbolics. New York: Springer-Verlag, pp. 26-29, 2006. http://www.mathematicaguidebooks.org/.Wagon, S. Mathematica in Action. New York: W. H. Freeman, p. 348, 1991.Wee, C. E. and Goldman, R. N. IEEE Comput. Graphics Appl. No. 1, 69, 1995.Wee, C. E. and Goldman, R. N. IEEE Comput. Graphics Appl. No. 3, 60, 1995.

在 中被引用

结式

请这样引用

Weisstein, Eric W. "结式。" 来自 网络资源。 https://mathworld.net.cn/Resultant.html

主题分类