圆盘三角形选取

在一个单位圆盘 （即，单位圆的内部）中独立且均匀地选取三个点 、 和 。那么由这些点确定的三角形的平均面积是

(1)

使用圆盘点选取，这可以写成：

(2)

其中

(3)

然后可以使用三角代换来消除三角函数，并将积分拆分为：

(4)

其中

			(5)
			(6)

然而，评估积分最简单的方法是使用克罗夫顿公式和极坐标，从而得到平均三角形面积：

(7)

对于单位半径圆盘（OEIS A189511），或

(8)

对于单位面积圆盘（OEIS A093587；Woolhouse 1867；Solomon 1978；Pfiefer 1989；Zinani 2003）。这个问题与西尔维斯特四点问题密切相关，并且可以作为一般多边形三角形选取问题的极限（当 时）推导出来。

如上所示的面积分布，显然尚不精确已知。

圆盘中三个随机点形成锐角三角形的概率 是：

(9)

（OEIS A093588；Woolhouse 1886）。Hall（1982）将该问题推广到 维球体三角形选取，Buchta（1986）给出了 Hall 积分的闭合形式评估。