圆内接三角形的选取

在一个单位圆的圆周上随机选取三个点，并找出由这三个点确定的三角形面积的分布。

不失一般性，第一个点可以被赋予坐标 。将从第一个点到第二个和第三个点的中心角分别称为 和 。由于对称性， 的范围可以限制在 ，但 的范围可以是 。然后

因此

因此,

但是

将 (10) 写成

那么

并且

从 (12) 中，

因此

此外,

因此

结合 (◇) 和 (◇) 得到平均三角形面积为

(OEIS A093582)。

前几个矩是

(OEIS A093583 和 A093584 和 OEIS A093585 和 A093586)。

因此，方差由下式给出

在圆的圆周上随机选取的三个点确定的三角形内部包含原点的概率是 1/4。