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圆盘线段拾取

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Disk line picking

使用圆盘点拾取，

x=sqrt(r)costheta
(1)
y=sqrt(r)sintheta
(2)

对于 r in [0,1], theta in [0,2pi), 在单位圆盘中随机选择两个点，并找到两点之间距离 s 的分布。不失一般性，取第一个点为 (r,theta)=(r_1,0)，第二个点为 (r_2,theta)。然后

s^_=(int_0^1int_0^1int_0^pisqrt(r_1+r_2-2sqrt(r_1r_2)costheta)dr_1dr_2dtheta)/(int_0^1int_0^1int_0^pidr_1dr_2dtheta)
(3)
=1/piint_0^1int_0^1int_0^pisqrt(r_1+r_2-2sqrt(r_1r_2)costheta)dr_1dr_2dtheta
(4)
=(128)/(45pi)
(5)
=0.905414787...
(6)

(OEIS A093070; Uspensky 1937, p. 258; Solomon 1978, p. 36)。

DiskLinePickingP

这是球体线段拾取在 n=2 时的特殊情况，因此半径为 R 的圆盘的完整概率函数为

P_2(s,R)=(4s)/(piR^2)cos^(-1)(s/(2R))-(2s^2)/(piR^3)sqrt(1-(s^2)/(4R^2))
(7)

(Solomon 1978, p. 129; Mathai 1999, p. 204)。

线段长度分布的原点矩由下式给出

mu_n^'=int_0^2s^nP_2(s,1)ds
(8)
=(2Gamma(n+3))/((n+2)Gamma(2+1/2n)Gamma(3+1/2n)),
(9)

其中 Gamma(x) 是伽玛函数，n>-2。 1/r 的期望值由 n=-1 给出，得到

mu_(-1)=(16)/(3pi)
(10)

(Solomon 1978, p. 36; Pure et al. )。前几个矩为

mu_0^'=1
(11)
mu_1^'=(128)/(45pi)
(12)
mu_2^'=1
(13)
mu_3^'=(2048)/(525pi)
(14)
mu_4^'=5/3
(15)
mu_5^'=(16384)/(2205pi)
(16)

(OEIS A093526 和 A093527 和 OEIS A093528 和 A093529)。矩 mu_(2n-2)^' 为整数的情况发生在 n=1, 2, 6, 15, 20, 28, 42, 45, 66, ... (OEIS A014847)，这非常令人惊讶地正是 n 的值，使得 n|C_n，其中 C_n 是卡塔兰数 (E. Weisstein, 3月 30, 2004)。

另请参阅

球体线段拾取, 圆线段拾取, 扇形线段拾取, 圆盘三角形拾取, 直线线段拾取

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参考文献

Sloane, N. J. A. Sequences A014847, A093070, A093526, A093527, A093528, 和 A093529 in "整数数列线上大全。"Mathai, A. M. 几何概率导论：具有应用的分布方面。 Amsterdam, Netherlands: Gordon and Breach, 1999。Pure, R.; Durran, S.; Tong, F.; Pan, J. "任意多边形中两个随机点之间的距离分布。" 即将发表于 Math. Meth. Appl. Sci.Solomon, H. 几何概率。 Philadelphia, PA: SIAM, 1978。Uspensky, J. V. Ch. 12, Problem 5 in 数学概率导论。 New York: McGraw-Hill, pp. 257-258, 1937。

在 Wolfram|Alpha 上引用

圆盘线段拾取

请引用本文为

Weisstein, Eric W. "圆盘线段拾取。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/DiskLinePicking.html

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