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多边形三角形选取

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PolygonTrianglePicking

单位面积正 n 边形内选取三角形的平均三角形面积为

A^__n=(9cos^2omega+52cosomega+44)/(36n^2sin^2omega),
(1)

其中 omega=2pi/n (Alikoski 1939; Solomon 1978, p. 109; Croft et al. 1991, p. 54)。在 Alikoski 的工作之前，仅确定了特殊情况 n=3、4、6、8 和 infty。下表总结了前几种情况，其中 A^__7 是以下方程的最大根

784147392x^3-84015792x^2+2125620x-15289=0,
(2)

而 A^__9 是以下方程的最大根

24794911296x^3-2525407632x^2+55366092x-312427=0.
(3)
nA^__n问题
31/(12)三角形三角形选取
4(11)/(144)正方形三角形选取
51/(180)(9+2sqrt(5))五边形三角形选取
6(289)/(3888)六边形三角形选取
7A^__7
81/(2304)(97+52sqrt(2))
9A^__9
101/(18000)(745+262sqrt(5))

令人惊讶的是，A^__n 的代数次数等于 phi(n)/2，其中 phi(n) 是欧拉函数，给出 n=3、4、... 的前几项为 1、1、2、1、3、2、3、2、5、2、6、3、4、4、8、... (OEIS A023022)。因此，n 的唯一使 A^__n 为有理数的值是 n=3、4 和 6。

参见

六边形三角形选取、 正方形三角形选取、 五边形三角形选取、 西尔维斯特四点问题、 三角形三角形选取

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参考文献

Alikoski, H. A. "Über das Sylvestersche Vierpunktproblem." Ann. Acad. Sci. Fenn. 51, No. 7, 1-10, 1939.Croft, H. T.; Falconer, K. J.; and Guy, R. K. Unsolved Problems in Geometry. New York: Springer-Verlag, 1991.Kendall, M. G. "Exact Distribution for the Shape of Random Triangles in Convex Sets." Adv. Appl. Prob. 17, 308-329, 1985.Kendall, M. G. and Le, H.-L. "Exact Shape Densities for Random Triangles in Convex Polygons." Adv. Appl. Prob. 1986 Suppl., 59-72, 1986.Sloane, N. J. A. Sequence A023022 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Solomon, H. Geometric Probability. Philadelphia, PA: SIAM, pp. 109-114, 1978.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

多边形三角形选取

请引用为

Weisstein, Eric W. "Polygon Triangle Picking." 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/PolygonTrianglePicking.html

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