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拉马努金 phi 函数


双参数拉马努金函数定义为

phi(a,n)=1+2sum_(k=1)^(n)1/((ak)^3-ak)
(1)
=1-1/a(H_(-1/a)+H_(1/a)+2H_n-H_(n-1/a)-H_(n+1/a)).
(2)

单参数函数 phi(a) 然后定义为 phi(a,n)n->infty 时的极限和,

phi(a)=lim_(n->infty)phi(a,n)
(3)
=1+2sum_(k=1)^(infty)1/((ak)^3-ak)
(4)
=-1/a[psi_0(1/a)+psi_0(1-1/a)+2gamma]
(5)
=1-1/a(H_(-1/a)+H_(1/a)),
(6)

其中 psi_0(x)digamma 函数gamma欧拉-马歇罗尼常数,而 H_nu 是一个 调和数phi(n)n=2, 3, ... 的值为

phi(2)=2ln2
(7)
phi(3)=ln3
(8)
phi(4)=3/2ln2
(9)
phi(5)=1/5sqrt(5)lnphi+1/2ln5
(10)
phi(6)=1/2ln3+2/3ln2,
(11)

其中 phi黄金比例


另请参阅

调和数, 拉马努金 g- 和 G-函数, 拉马努金 Theta 函数, Tau 函数

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引用为

Weisstein, Eric W. “拉马努金 phi 函数。” 来自 —— 资源。 https://mathworld.net.cn/RamanujanPhi-Function.html

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