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单位正方形积分

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几何概率中出现的单位正方形上的积分是

int_0^1int_0^1sqrt(x^2+y^2)dxdy=1/3[sqrt(2)+sinh^(-1)(1)] int_0^1int_0^1sqrt((x-1/2)^2+(y-1/2)^2)dxdy =1/6[sqrt(2)+sinh^(-1)(1)],
(1)

这些积分分别给出了在正方形点选取中，从单位正方形内随机选取一点到角和中心的平均距离。

涉及绝对值的单位正方形积分由下式给出

int_0^1int_0^1|x-y|^ndxdy=2/((n+1)(n+2))
(2)
int_0^1int_0^1|x+y|^ndxdy=(2(2^(n+1)-1))/((n+1)(n+2)),
(3)

对于 R[n]>-1 和 R[n]>-2，分别。

另一个简单的积分由下式给出

int_0^1int_0^1(dxdy)/(sqrt(1+x^2+y^2))=4ln(2+sqrt(3))-2/3pi
(4)

(Bailey et al. 2007, p. 67)。 分母平方得到

int_0^1int_0^1(dxdy)/(x^2+y^2+1)=int_0^1(tan^(-1)(1/(sqrt(1+y^2))))/(sqrt(1+y^2))dy
(5)
=int_0^11/(sqrt(4x^2-1))[tan^(-1)(3/(sqrt(4x^2-1)))-tan^(-1)((1+2x^2)/(sqrt(4x^2-1)))]dx
(6)
=int_0^(pi/4)(tan^(-1)(costheta))/(costheta)dtheta
(7)
=1/2pisinh^(-1)1-K+1/6_3F_2(1/2,1,1;3/2,3/2;1/9)
(8)
=0.63951...
(9)

(OEIS A093754; M. Trott, pers. comm.)，其中 K 是 卡塔兰常数，_3F_2(a,b,c;d,e;z) 是广义超几何函数。 一个相关的积分由下式给出

int_0^1int_0^1(dxdy)/(x^2+y^2),
(10)

这在黎曼意义上是发散的，可以通过转换为极坐标快速看出。 然而，取Hadamard 积分来丢弃单位圆内的发散部分得到

Hint_0^1int_0^1(dxdy)/(x^2+y^2)=intint_(x^2+y^2>1; 0<x<1; 0<y<1)(dxdy)/(x^2+y^2)
(11)
=int_0^11/x[tan^(-1)(1/x)-tan^(-1)((sqrt(1-x^2))/x)]dx
(12)
=1/2piln2-K
(13)
=0.172827...
(14)

(OEIS A093753)，其中 K 是 卡塔兰常数。

Guillera 和 Sondow (2005) 给出了单位正方形上的一系列优美的积分，它们来自一般积分

int_0^1int_0^1(x^(u-1)y^(v-1))/(1-xyz)[-ln(xy)]^sdxdy=Gamma(s+1)(Phi(z,s+1,v)-Phi(z,s+1,u))/(u-v)
(15)
int_0^1int_0^1((xy)^(u-1))/(1-xyz)[-ln(xy)]^sdxdy=Gamma(s+2)Phi(z,s+2,u),
(16)

对于 u,v>0, R[s]>-2 如果 z in C-[1,infty), 以及 R[s]>-1 如果 z=1，其中 Gamma(s) 是 伽马函数，Phi(z,s,a) 是 莱奇超越函数。 在 (15) 中，为了处理 u=v 的情况，取极限 v->u，这得到 (16)。

另一个结果是

int_0^1int_0^1(1-x)/((1-xy)(-lnxy))(xy)^(u-1)dxdy=lnu-psi_0(u)
(17)

(Guillera 和 Sondow 2005)，对于 u>0 且其中 psi_0(z) 是 双伽马函数。

Guillera 和 Sondow (2005) 也给出了

int_0^1int_0^1([-ln(xy)]^s)/(1-xy)dxdy=Gamma(s+2)zeta(s+2)
(18)
int_0^1int_0^1([-ln(xy)]^s)/(1+xy)dxdy=Gamma(s+2)eta(s+2)
(19)
int_0^1int_0^1([-ln(xy)]^s)/(1+x^2y^2)dxdy=Gamma(s+2)beta(s+2),
(20)

其中第一个式子适用于 R[s]>-1，第二个和第三个式子适用于 R[s]>-2，zeta(s) 是 黎曼 zeta 函数，eta(s) 是 狄利克雷 eta 函数，beta(s) 是 狄利克雷 beta 函数。 (19) 是 Hadjicostas (2002) 为整数 s>=0 发现的。 公式 (18) 和 (19) 是通过设置 u=1 ，然后分别取 z=1 和 z=-1 得到的 (16) 的特殊情况。

优美的公式

int_0^1int_0^1(dxdy)/(1-xy)=zeta(2)
(21)
int_0^1int_0^1(-ln(xy))/(1-xy)dxdy=2zeta(3)
(22)

是 Beukers (1979) 给出的。 这些积分是通过取 s=0 和 1 分别得到的 (19) 的特殊情况。 涉及卡塔兰常数 K 的类似公式由下式给出

int_0^1int_0^1(dxdy)/((1-xy)sqrt(x(1-y)))=8K
(23)

(Zudilin 2003)。

其他与 Hadjicostas 公式相关的优美积分由下式给出

int_0^1int_0^1(x-1)/((1-xy)ln(xy))dxdy=gamma
(24)
int_0^1int_0^1(x-1)/((1+xy)ln(xy))dxdy=ln(4/pi)
(25)

(Sondow 2003, 2005; Borwein et al. 2004, p. 49)，其中 gamma 是 欧拉-马歇罗尼常数。

其他特殊情况的集合 (Guillera 和 Sondow 2005) 包括

int_0^1int_0^1(-xln(xy))/(1+x^2y^2)dxdy=K-1/(48)pi^2
(26)
int_0^1int_0^1(-xln(xy))/(1-x^2y^2)dxdy=1/(12)pi^2
(27)
int_0^1int_0^1(-ln(xy))/(1+x^2y^2)dxdy=1/(16)pi^3
(28)
int_0^1int_0^1(dxdy)/(1+x^2y^2)=K
(29)
int_0^1int_0^1(-dxdy)/((2-xy)ln(xy))=ln2
(30)
int_0^1int_0^1(dxdy)/(2-xy)=1/(12)pi^2-1/2ln^22
(31)
int_0^1int_0^1(-ln(xy))/(2-xy)dxdy=7/4zeta(3)-1/6pi^2ln2+1/3ln^32
(32)
int_0^1int_0^1(-x)/((2-xy)ln(xy))dxdy=lnsigma
(33)
int_0^1int_0^1(-dxdy)/((phi-xy)ln(xy))=2lnphi
(34)
int_0^1int_0^1(-dxdy)/((phi^2-xy)ln(xy))=lnphi
(35)
int_0^1int_0^1(dxdy)/(phi-xy)=1/(10)pi^2-ln^2phi
(36)
int_0^1int_0^1(dxdy)/(phi^2-xy)=1/(15)pi^2-ln^2phi
(37)
int_0^1int_0^1(-ln(xy))/(phi^2-xy)dxdy=8/5zeta(3)-4/(15)pi^2lnphi+4/3ln^3phi
(38)
int_0^1int_0^1(-x)/((1+xy)ln(xy))dxdy=ln(1/2pi)
(39)
int_0^1int_0^1(-x)/((1+x^2y^2)ln(xy))dxdy=ln[(sqrt(2pi))/(Gamma^2(3/4))]
(40)
int_0^1int_0^1(-1)/((1+x^2y^2)ln(xy))dxdy=1/4pi
(41)
int_0^1int_0^1x/(1-x^3y^3)dxdy=pi/(3sqrt(3))
(42)
int_0^1int_0^1(dxdy)/(1-x^2y^2)=1/8pi^2
(43)
int_0^1int_0^1(ln(2-x))/(1-xy)dxdy=1/4pi^2ln2-zeta(3)
(44)
int_0^1int_0^1(ln(2-xy))/(1-xy)dxdy=5/8zeta(3)
(45)
int_0^1int_0^1(ln(1+x))/(1-xy)dxdy=5/8zeta(3)
(46)
int_0^1int_0^1(ln(1+xy))/(1-xy)dxdy=1/4pi^2ln2-zeta(3)
(47)
int_0^1int_0^1(-ln(1-x))/(1-xy)dxdy=2zeta(3)
(48)
int_0^1int_0^1(-ln(1-xy))/(1-xy)dxdy=zeta(3)
(49)
int_0^1int_0^1(xdxdy)/([-ln(xy)]^(3/2))=2(sqrt(2)-1)sqrt(pi)
(50)
int_0^1int_0^1(dxdy)/([-ln(xy)]^(3/2))=sqrt(pi)
(51)
int_0^1int_0^1(dxdy)/([-ln(xy)]^(5/4))=Gamma(3/4)
(52)
int_0^1int_0^1(xln^2(xy))/((1+x^2y^2)^2)dxdy=K-1/(48)pi^2+1/(32)pi^3
(53)
int_0^1int_0^1(ln^4(xy))/((1+xy)^2)dxdy=(225)/2zeta(5)
(54)
int_0^1int_0^1(-dxdy)/((1+x^2y^2)^2ln(xy))=1/8(pi+2)
(55)
int_0^1int_0^1(-xdxdy)/((1+xy)^2ln(xy))=ln((A^6)/(2^(1/6)sqrt(pie)))
(56)
int_0^1int_0^1(1-x)/((1+xy)ln^2(xy))dxdy=ln((pi^(1/2)A^6)/(2^(7/6)e))
(57)
int_0^1int_0^1(1-x^2)/((1+x^2y^2)ln^2(xy))dxdy=ln[(Gamma(1/4))/(2Gamma(3/4))]+(2K)/pi-1/2
(58)
int_0^1int_0^1(1-x)/([-ln(xy)]^(5/2))dxdy=1/3sqrt(pi)(8sqrt(2)-10),
(59)

其中 zeta(n) 是 黎曼 zeta 函数，zeta(3) 是 Apéry 常数，phi 是 黄金比例，sigma 是 Somos 二次递推常数，A 是 Glaisher-Kinkelin 常数。 方程 (57) 出现在 Sondow (2005) 中，但它是 Guillera 和 Sondow (2005) 考虑的类型的一个特例。

通过变量替换 x=X/Y, y=Y 可以找到这些积分中大多数积分在 [0,1] 上的对应单积分。 雅可比行列式给出 dxdy=Y^(-1)dXdY，新的积分限是 {X,0,1}, {Y,X,1}。 然后对 Y 积分得到 [0,1] 上的一个一维积分。 详情请参见 Guillera-Sondow 定理 3.1 证明的第一部分。

另请参阅

双重积分, Hadjicostas 公式, 超立方体线段选取, 正方形点选取, 单位圆盘积分, 单位正方形

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参考文献

Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Calkin, N. J.; Girgensohn, R.; Luke, D. R.; and Moll, V. H. 实验数学在行动。 Wellesley, MA: A K Peters, 2007.Beukers, F. "关于 zeta(2) 和 zeta(3) 的无理性证明的注记。" Bull. London Math. Soc. 11, 268-272, 1979.Borwein, J.; Bailey, D.; and Girgensohn, R. 数学实验：通往发现的计算路径。 Wellesley, MA: A K Peters, 2004.Guillera, J. and Sondow, J. "通过 Lerch 超越函数的解析延拓得到的若干经典常数的双重积分和无穷乘积。" 16 June 2005. http://arxiv.org/abs/math.NT/0506319.Hadjicostas, P. "Beukers 积分的一些推广。" Kyungpook Math. J. 42, 399-416, 2002.Sloane, N. J. A. 整数序列在线百科全书中的序列 A093753 和 A093754。"Sondow, J. "欧拉常数的无理性判据。" Proc. Amer. Math. Soc. 131, 3335-3344, 2003. http://arxiv.org/abs/math.NT/0209070.Sondow, J. "欧拉常数和 ln(4/pi) 的双重积分以及 Hadjicostas 公式的一个类似物。" Amer. Math. Monthly 112, 61-65, 2005.Zudilin, W. "卡塔兰常数的类 Apéry 差分方程。" Electronic J. Combinatorics 10, No. 1, R14, 1-10, 2003. http://www.combinatorics.org/Volume_10/Abstracts/v10i1r14.html.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

单位正方形积分

请引用为

Weisstein, Eric W. "单位正方形积分。" 来自 MathWorld-- Wolfram Web 资源. https://mathworld.net.cn/UnitSquareIntegral.html

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