Heaviside阶跃函数

Heaviside阶跃函数是一个数学函数，用 , 或有时 或 (Abramowitz 和 Stegun 1972, p. 1020) 表示，也称为“单位阶跃函数”。术语“Heaviside阶跃函数”及其符号可以表示 分段常数函数 或 广义函数。

当定义为分段常数函数时，Heaviside阶跃函数由下式给出

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(Abramowitz 和 Stegun 1972, p. 1020; Bracewell 2000, p. 61)。上面的图表显示了这个函数（左图），以及它在示波器上显示的样子（右图）。

当定义为 广义函数 时，它可以定义为函数 使得

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对于 ，一个足够光滑的函数 的导数，该函数衰减得足够快 (Kanwal 1998)。

Wolfram 语言 将 Heaviside 广义函数表示为HeavisideTheta，同时使用UnitStep来表示分段函数Piecewise[1, x >= 0] （应该注意的是，它采用了约定 而不是传统定义 ）。

速记符号

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有时也使用。

Heaviside阶跃函数通过下式与 箱型函数 相关

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并且可以根据 符号 函数定义为

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阶跃函数的 导数 由下式给出

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其中 是 delta 函数 (Bracewell 2000, p. 97)。

Heaviside阶跃函数通过下式与 斜坡函数 相关

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以及与 的导数相关

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两者也通过以下方式连接

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其中 表示 卷积。

Bracewell (2000) 给出了许多恒等式，其中一些包括以下内容。令 表示 卷积，

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此外，

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Heaviside阶跃函数可以通过以下极限定义，

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其中 是 erfc 函数， 是 正弦积分， 是 sinc 函数，而 是单参数 三角形函数。上面说明了前四个函数，参数为 、0.1 和 0.01。

当然，任何具有常数不等水平渐近线的单调函数，在适当的缩放和可能的反射下，都是 Heaviside 阶跃函数。Heaviside 阶跃函数的 傅里叶变换 由下式给出

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其中 是 delta 函数。