主题
Search

三进制

DOWNLOAD Mathematica Notebook下载 Wolfram Notebook

使用数字 0、1 和 2 的 基数-3 计数方法。三进制数出现在许多数学问题中，包括一些称重问题。然而，根据 Knuth (1998) 的说法，“平衡三进制记数法尚未得到实质性应用”（平衡三进制使用数字 -1、0 和 1，而不是 0、1 和 2）。

Ternary

上面的图示显示了数字 0 到 25 的三进制图形表示，下表给出了前几个十进制数的三进制等价值。连续数字 0、1、2、3、... 的三进制数字的连接给出 (0), (1), (2), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), ... (OEIS A054635)。

111110221210
221211022211
3101311123212
4111411224220
5121512025221
6201612126222
72117122271000
82218200281001
910019201291002
1010120202301010

三进制数字具有以下乘法表。

×012
0000
1012
20211

三进制表示可以用于唯一标识全域细胞自动机规则，其中三种颜色（白色、灰色和黑色）对应于三个数字 0、1 和 2（Wolfram 2002，pp. 60-70 和 886）。例如，三进制数字 0211020_3，导致代码 600 全域细胞自动机。

每个用三进制表示的偶数都有偶数个（可能为 0 个）1。这是正确的，因为一个数模 (b-1) 与其 基数-b 数字之和同余。在 b=3 的情况下，只有一个数字 (1) 不是 b-1 的倍数，所以我们所要做的就是“去除二”，并计算以 3 为基数的表示中 1 的数量。

下表给出了 2^n 对于 n=1, 2, ... 的三进制表示。

2^1=2_3
(1)
2^2=11_3
(2)
2^3=22_3
(3)
2^4=121_3
(4)
2^5=1012_3
(5)
2^6=2101_3
(6)
2^7=11202_3.
(7)

N. J. A. Sloane 推测，对于任何整数 n>15，2^n 的三进制展开式中总是有一个 0 (Sloane 1973; Vardi 1991, p. 28)。已知 n 的值使得 2^n 缺少 0 的是 1, 2, 3, 4, 15 (OEIS A054635)，在 10^5 以内没有其他值 (E. W. Weisstein, 2006 年 4 月 8 日)。(2^1)_3, (2^2)_3, ..., 中第一个 0 数字的位置（从最低有效三进制数字开始计数）是 0, 0, 0, 0, 3, 2, 2, 4, 4, 5, 4, 2, 2, 4, 0, 3, 4, (OEIS A117971)。

类似地，2^n 的三进制展开式中总是有一个 1，除了 n=1, 1, 3 和 9，在 10^5 以内没有其他值 (E. W. Weisstein, 2006 年 4 月 8 日)。

Erdős 和 Graham (1980) 推测，对于 n>8，2 的任何幂 2^n 都不是 3 的不同幂的和。这等价于要求对于 n>8，2^n 的三进制展开式总是包含 2。Vardi (1991) 已经验证了，唯一没有 2 的值是 n=2 和 8，上限为 n=2·3^(20)=6.97×10^9。(2^1)_3, (2^2)_3, ..., 中第一个 2 数字的位置（从最低有效三进制数字开始计数）是 1, 0, 1, 2, 1, 4, 1, 0, 1, 2, 1, 3, 1, 3, ... (OEIS A117970)。

另请参阅

基数, 二进制, Champernowne 常数, 十进制, 十六进制, 八进制, 四进制, 全域细胞自动机

此条目的部分内容由 Vincenzo Origlio 贡献

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Erdős, P. 和 Graham, R. L. 组合数论中的新旧问题与结果。 Geneva, Switzerland: L'Enseignement Mathématique Université de Genève, Vol. 28, 1980.Gardner, M. "三进制系统。" Ch. 11 in 《来自科学美国人的数学游戏第六书》。 Chicago, IL: University of Chicago Press, pp. 104-112, 1984.Knuth, D. E. 计算机程序设计艺术。第 2 卷：半数值算法，第 3 版。 Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 173-175, 1998.Lauwerier, H. 分形：无限重复的几何图形。 Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 10-11, 1991.Sloane, N. J. A. 序列 A054635, A102483, A117970, 和 A117970，出自 "整数序列在线百科全书。"Sloane, N. J. A. "数字的持久性。" J. Recr. Math. 6, 97-98, 1973.Vardi, I. "以三为基数时 2^n 的数字。" Mathematica 中的计算娱乐。 Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 20-25, 1991.Wolfram, S. 一种新的科学。 Champaign, IL: Wolfram Media, pp. 60-70 和 886, 2002.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

三进制

请引用为

Origlio, Vincenzo 和 Weisstein, Eric W. "三进制。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Ternary.html

主题分类