正方形直线选取 -- 来自 Wolfram MathWorld

正方形直线选取

正方形直线选取是在一个正方形内随机放置的点对（对应于线段的端点）的选择。条随机线段可以在单位正方形中用 Wolfram 语言使用以下函数选取RandomPoint[Rectangle[], n, 2].

从单位正方形内部随机选取两个点，它们之间的平均距离是超立方体直线选取的情况，即，

			(1)
			(2)
			(3)

(OEIS A091505)。

精确的概率函数由下式给出

$P(l)={2l(l^2-4l+pi) for 0<=l<=1; 2l[4sqrt(l^2-1)-(l^2+2-pi)-4tan^(-1)(sqrt(l^2-1))] for 1<=l<=sqrt(2)$

(4)

(M. Trott，私人通讯，3 月 11 日，2004 年），相应的分布函数由下式给出

$D(l)={1/2l^4-8/3l^3+pil^2 for 0<=l<=1; -1/2l^4-4l^2tan^(-1)(sqrt(l^2-1))+4/3(2l^2+1)sqrt(l^2-1)+(pi-2)l^2+1/3 for 1<=l<=sqrt(2).$

(5)

由此，可以计算平均距离，以及长度的方差，

			(6)
			(7)

统计中位数由四次方程的根给出

(8)

大约为。

第阶原点矩对于 , 4, 6, ... 给出为 1/3, 17/90, 29/210, 187/1575, 239/207, ... (OEIS A103304 和 A103305)。

如果不是从正方形内部选取两个点，而是在单位正方形不同边上随机选择两个点，则以这种方式选取的两个点之间的平均距离为

			(9)
			(10)
			(11)
			(12)

(OEIS A091506; Borwein 和 Bailey 2003, p. 25; Borwein et al. 2004, p. 66)。

参考文献

Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Kapoor, V.; 和 Weisstein, E. W. "Ten Problems in Experimental Mathematics." Amer. Math. Monthly 113, 481-509, 2006b.

Sheng, T. .K. "The Distance between Two Random Points in Plane Regions." Adv. Appl. Prob. 17, 748-773, 1985.

Sloane, N. J. A. 序列 A091505, A091506, A103304, 和 A103305，出自 "整数序列在线百科全书"。

Trott, M. "The Mathematica Guidebooks Additional Material: Average Distance Distribution." http://www.mathematicaguidebooks.org/additions.shtml#S_1_14.

正方形直线选取

另请参阅

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

在 Wolfram|Alpha 中被引用

请引用为

主题分类