克劳森函数

定义

			(1)
			(2)

则克劳森函数定义为

$Cl_n(x)={S_n(x)=sum_(k=1)^(infty)(sin(kx))/(k^n) n even; C_n(x)=sum_(k=1)^(infty)(cos(kx))/(k^n) n odd,$

(3)

有时也写作 (Arfken 1985, p. 783)。

那么克劳森函数可以用多重对数表示为

$Cl_n(x)={1/2i[Li_n(e^(-ix))-Li_n(e^(ix))] n even; 1/2[Li_n(e^(-ix))+Li_n(e^(ix))] n odd.$

(4)

对于，该函数呈现特殊形式

(5)

对于，它变为克劳森积分

(6)

奇偶性相反的符号和可以符号求和，前几个由下式给出

			(7)
			(8)
			(9)
			(10)
			(11)

对于 (Abramowitz 和 Stegun 1972)。

另请参阅

克劳森积分, 洛巴切夫斯基函数, 多伽玛函数, 多重对数

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更多尝试

参考文献

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Clausen's Integral and Related Summations" §27.8 in 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 版。 New York: Dover, pp. 1005-1006, 1972.Arfken, G. 物理学家的数学方法，第 3 版。 Orlando, FL: Academic Press, 1985.Borwein, J. and Bailey, D. 实验数学：21世纪的合理推理。 Wellesley, MA: A K Peters, pp. 89-90, 2003.Borwein, J.; Bailey, D.; and Girgensohn, R. 数学实验：计算发现之路。 Wellesley, MA: A K Peters, p. 27, 2004.Borwein, J. M.; Broadhurst, D. J.; and Kamnitzer, J. "Central Binomial Sums, Multiple Clausen Values and Zeta Functions." Exp. Math. 10, 25-41, 2001.Clausen, R. "Über die Zerlegung reeller gebrochener Funktionen." J. reine angew. Math. 8, 298-300, 1832.Grosjean, C. C. "Formulae Concerning the Computation of the Clausen Integral

." J. Comput. Appl. Math. 11, 331-342, 1984.Jolley, L. B. W. 级数求和。 London: Chapman, 1925.Lewin, L. 双对数函数和相关函数。 London: Macdonald, pp. 170-180, 1958.Lewin, L. 多重对数函数和相关函数。 New York: North-Holland, 1981.Wheelon, A. D. 可求和级数简表。 Report No. SM-14642. Santa Monica, CA: Douglas Aircraft Co., 1953.

Wolfram|Alpha 参考

克劳森函数

请引用本文为

Weisstein, Eric W. "克劳森函数。" 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ClausenFunction.html

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