新的梅森素数猜想

迪克森指出，“在给 Tanner 的一封信中 [L'intermediaire des math., 2, 1895, 317]，卢卡斯指出梅森 (1644, 1647) 暗示 必要 和 充分 条件是 为素数，条件是 是 , , 形式之一的素数。”

梅森的暗示已被驳斥，但 Bateman、Selfridge 和 Wagstaff (1989) 以该陈述为灵感，提出了现在被称为新的梅森猜想，该猜想可以表述如下。

考虑一个奇自然数 。如果以下条件中的两个成立，那么第三个也成立

1. 或 ,

2. 是素数（一个 梅森素数），

3. 是素数（一个 瓦格斯塔夫素数）。

该猜想已针对所有素数 进行了验证。

基于已知的梅森素数和 Wagstaff 素数指数的分布和启发式方法（参见 http://www.utm.edu/research/primes/mersenne/heuristic.html），似乎很可能只有有限数量的指数满足新梅森猜想的标准。事实上，很可能不会再发现符合标准的梅森素数或 Wagstaff 素数指数。因此，新的梅森猜想可能仅仅是 Guy 的 强小数定律 的另一个例子。事实上，R. D. Silverman (2005) 表示，当首次提出该猜想时，他在场，并引用 Selfridge 本人将该猜想描述为“一个微不足道的奇怪巧合”。