校准形式

黎曼流形上的校准形式 黎曼流形 是一个 微分 p-形式 满足以下条件

1. 是一个 闭形式。

2. Phi 的共范数 ,

(1)

定义为 在一个 向量上的最大值，该 -向量的 -体积为 1，共范数值等于 1。

当 -维子流形被校准时， 限制在该子流形上给出体积形式。

不难看出，一个校准的子流形 在其 同调类 中的所有对象中，体积最小。根据 斯托克斯定理，如果 代表相同的同调类，则

(2)

由于

(3)

且

(4)

因此， 的体积小于或等于 的体积。

一个简单的例子是平面上的 ，对于它，直线 是校准的子流形。事实上，在这个例子中，校准的子流形给出了一个叶状结构。在 Kähler 流形上，Kähler 形式 是一个校准形式，它是不可分解的。例如，在

(5)

Kähler 形式是

(6)

在 Kähler 流形上，校准的子流形恰好是复子流形。因此，复子流形是局部体积最小化的。