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超球面点选取

Marsaglia (1972) 给出了一种简单的方法，用于在 4 维球体的表面上选择均匀分布的点。 这是通过选取两对点 (x_1,x_2) 和 (x_3,x_4) 来实现的，并拒绝任何满足 x_1^2+x_2^2>=1 和 x_3^2+x_4^2>=1 的点。 然后这些点

x=x_1
(1)
y=x_2
(2)
z=x_3sqrt((1-x_1^2-x_2^2)/(x_3^2+x_4^2))
(3)
w=x_4sqrt((1-x_1^2-x_2^2)/(x_3^2+x_4^2))
(4)

在超球面的表面上具有均匀分布。 这扩展了 Marsaglia (1972) 的球面点选取方法，但不幸的是，该方法无法推广到更高的维度。

在任意维度的超球面上选取随机点的简单方法是生成 n 个高斯随机变量 x_1, x_2, ..., x_n。 然后向量的分布

1/(sqrt(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2))[x_1; x_2; |; x_n]
(5)

在表面 S^(n-1) 上是均匀的 (Muller 1959, Marsaglia 1972)。

另请参阅

超球面, 球面点选取

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参考文献

Hicks, J. S. ad Wheeling, R. F. "An Efficient Method for Generating Uniformly Distributed Points on the Surface of an n-Dimensional Sphere." Comm. Assoc. Comput. Mach. 2, 13-15, 1959.Marsaglia, G. "Choosing a Point from the Surface of a Sphere." Ann. Math. Stat. 43, 645-646, 1972.Muller, M. E. "A Note on a Method for Generating Points Uniformly on N-Dimensional Spheres." Comm. Assoc. Comput. Mach. 2, 19-20, Apr. 1959.

在 Wolfram|Alpha 中引用

超球面点选取

请引用为

Weisstein, Eric W. "超球面点选取。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/HyperspherePointPicking.html

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