超球堆积

在二维空间中，对于相同的圆，存在两种周期性的圆堆积：正方格子和六边形格子。1940 年，费耶斯·托特证明了六边形格子是所有可能的平面堆积中最密集的（Conway 和 Sloane 1993，第 8-9 页）。

面心立方堆积是四维和五维空间中最密集的格子堆积的 аналог（类比物）。在八维空间中，最密集的格子堆积由两个面心立方堆积的副本构成。在六维和七维空间中，最密集的格子堆积是八维情况的截面。在 24 维空间中，最密集的堆积似乎是 Leech 格子。对于高维度（-D），已知最密集的堆积是非格子的。

在 维空间中，超球的最密集格子堆积对于 , 2, ..., 8 是严格已知的，并且具有堆积密度 ，总结在下表中，该表还给出了相应的 埃尔米特常数 （Gruber 和 Lekkerkerker 1987，第 518 页；Hilbert 和 Cohn-Vossen 1999，第 47 页；Finch）以及相关的文献引用。

			参考文献
2			开普勒 1611, 1619; 拉格朗日 1773
3		2	开普勒 1611, 1619; 高斯 1840
4		4	科尔金和佐洛塔列夫 1877
5		8	科尔金和佐洛塔列夫 1877
6			布利克费尔特 1934, 巴恩斯 1957, 韦特奇金 1980
7		64	布利克费尔特 1934, 沃森 1966, 韦特奇金 1980
8		256	布利克费尔特 1934, 沃森 1966, 韦特奇金 1980

康威和斯隆 (1995) 给出了维度高达 10 的超球的最密集已知非格子堆积的堆积密度 。在 2016 年之前，没有证明维度大于 3 的任何堆积是最优的（参见 Sloane 1998）。然而，在 2016 年，玛丽娜·维亚佐夫斯卡宣布证明了 格子提供了八维空间中的最优堆积（Knudson 2016, Morgan 2016）。此后不久，维亚佐夫斯卡和合作者宣布了类似的证明，即 Leech 格子在 24 维空间中是最优的（Grossman 2016, Klarreich 2016）。

可以与给定单位圆相切的单位圆的最大数量是六个。对于球体，最大数量是 12 个。牛顿早在 1874 年证明发表之前就考虑过这个问题。在 维度中，可以与另一个超球相切的超球的最大数量被称为亲吻数。

以下示例说明了超球堆积有时违反直觉的性质。在以所有 坐标为中心的 维空间中绘制单位 -球体。现在在原点放置一个额外的超球，使其与其他的超球相切。对于 在 2 和 8 之间的值，中心超球包含在超立方体内部，该超立方体的多胞形顶点位于其他球体的中心。然而，对于 ，中心超球刚好与中心的超立方体相切，而对于 ，中心超球部分位于超立方体外部。

这个事实可以通过找到从原点到 个超球之一的中心的距离来证明，该距离由下式给出

因此，中心球体的半径为 。现在，从原点到超立方体的边界面的中心的距离始终为 1（一个超球半径），因此当 ，或 时，中心超球与超立方体相切，而对于 ，中心超球部分位于超立方体外部。