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共焦抛物面坐标

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(x^2)/(a^2-lambda)+(y^2)/(b^2-lambda)=z-lambda
(1)
(x^2)/(a^2-mu)+(y^2)/(b^2-mu)=z-mu
(2)
(x^2)/(a^2-nu)+(y^2)/(b^2-nu)=z-nu,
(3)

其中 lambda in (-infty,b^2), mu in (b^2,a^2), 且 nu in (a^2,infty)。

x^2=((a^2-lambda)(a^2-mu)(a^2-nu))/((b^2-a^2))
(4)
y^2=((b^2-lambda)(b^2-mu)(b^2-nu))/((a^2-b^2))
(5)
z=lambda+mu+nu-a^2-b^2.
(6)

尺度因子是

h_lambda=sqrt(((mu-lambda)(nu-lambda))/(4(a^2-lambda)(b^2-lambda)))
(7)
h_mu=sqrt(((nu-mu)(lambda-mu))/(4(a^2-mu)(b^2-mu)))
(8)
h_nu=sqrt(((lambda-nu)(mu-nu))/(16(a^2-nu)(b^2-nu))).
(9)

拉普拉斯算符是

del ^2=(2(a^2+b^2-2nu))/((mu-nu)(nu-lambda))partial/(partialnu)+(4(a^2-nu)(nu-b^2))/((mu-nu)(nu-lambda))(partial^2)/(nu^2)+(2(a^2+b^2-2mu))/((mu-lambda)(nu-mu))partial/(partialmu)+(4(a^2-mu)(mu-b^2))/((mu-lambda)(nu-mu))(partial^2)/(partialmu^2)+(2(2lambda-a^2-b^2))/((mu-lambda)(nu-lambda))partial/(partiallambda)+(4(lambda-a^2)(lambda-b^2))/((mu-lambda)(nu-lambda))(partial^2)/(partiallambda^2).
(10)

亥姆霍兹微分方程是可分离的。

另请参阅

亥姆霍兹微分方程--共焦抛物面坐标, 抛物面坐标

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参考文献

Arfken, G. "共焦抛物线坐标 (xi_1, xi_2, xi_3)." §2.17 in 《物理学家数学方法》，第 2 版。奥兰多, FL: Academic Press, pp. 119-120, 1970。Moon, P. 和 Spencer, D. E. "抛物面坐标 ((mu,nu,lambda)." 表 1.11 in 《场论手册，包括坐标系、微分方程及其解法》，第 2 版。纽约: Springer-Verlag, pp. 44-48, 1988。Morse, P. M. 和 Feshbach, H. 《理论物理方法》，第一部分。纽约: McGraw-Hill, p. 664, 1953。

在 Wolfram|Alpha 上引用

共焦抛物面坐标

如此引用

Weisstein, Eric W. "共焦抛物面坐标。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ConfocalParaboloidalCoordinates.html

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