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图书堆叠问题


BookStacking

一堆 n 本书可以伸出桌子边缘多远而不会倒塌?结果表明,n 本书的最大可能悬垂距离 d_n (以书长为单位)是 调和级数的第 n 个部分和的一半。

BookStackingOverhangs

这由下式明确给出

 d_n=1/2sum_(k=1)^n1/k=1/2H_n,
(1)

其中 H_n 是一个 调和数。 前几个值是

d_1=1/2=0.5
(2)
d_2=3/4=0.75
(3)
d_3=(11)/(12) approx 0.91667
(4)
d_4=(25)/(24) approx 1.04167
(5)

(OEIS A001008A002805)。

BookStackingCards

当考虑堆叠一副 52 张牌以获得最大悬垂时,在滑动 51 张牌并固定底部一张牌后,获得的总悬垂量为

d_(51)=1/2H_(51)
(6)
=(14004003155738682347159)/(6198089008491993412800)
(7)
=2.25940659073333...
(8)

(Derbyshire 2004, 第 6 页)。

为了找到获得 d 个书长的悬垂距离所需的堆叠书本数量,求解关于 dd_n 方程,并取 上限函数。对于 n=1, 2, ... 个书长的悬垂距离,需要 4, 31, 227, 1674, 12367, 91380, 675214, 4989191, 36865412, 272400600, ... 本书 (OEIS A014537)。

当每层可以使用不止一本书或一张牌时,问题变得更加复杂。例如,使用堆叠成油灯形状的卡片,使用 921 个方块可以实现 10 个单位的悬垂距离 (Paterson and Zwick 2006)。


另请参阅

调和数, 调和级数

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Boas, R. “Cantilevered Books.” Amer. J. Phys. 41, 715, 1973.Derbyshire, J. 素数之恋:伯恩哈德·黎曼与数学中最大的未解之谜 (Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics). New York: Penguin, pp. 3-8, 2004.Dickau, R. M. “图书堆叠问题” (The Book-Stacking Problem). http://www.prairienet.org/~pops/BookStacking.html.Eisner, L. “物理评论的斜塔” (Leaning Tower of the Physical Review). Amer. J. Phys. 27, 121, 1959.Gamow, G. and Stern, M. 谜题数学 (Puzzle Math). New York: Viking, 1958.Gardner, M. 马丁·加德纳的《科学美国人》数学游戏第六辑 (Martin Gardner's Sixth Book of Mathematical Games from Scientific American). New York: Scribner's, pp. 167-169, 1971.Graham, R. L.; Knuth, D. E.; and Patashnik, O. 具体数学:计算机科学基础 (Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science). Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 272-274, 1990.Hall, J. F. “堆叠积木的乐趣” (Fun with Stacking Blocks). Amer. J. Phys. 73, 1107-1116, 2005.Havil, J. “最大可能的悬垂距离” (Maximum Possible Overhang). §13.11 in 伽玛:探索欧拉常数 (Gamma: Exploring Euler's Constant). Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 132-133, 2003.Johnson, P. B. “里拉斜塔” (Leaning Tower of Lire). Amer. J. Phys. 23, 240, 1955.Paterson, M. and Zwick, U. “悬垂” (Overhang). In 第十七届 ACM-SIAM 离散算法年度研讨会论文集,于 2006 年 1 月 22 日至 24 日在佛罗里达州迈阿密举行 (Proceedings of the Seventeenth Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms, Held in Miami, FL, January 22-24, 2006) Philadelphia, PA: SIAM, pp. 231-240, 2006.Pickover, C. A. “关于图书斜塔的一些实验” (Some Experiments with a Leaning Tower of Books). Computer Language 7, 159-160, 1990.Pickover, C. A. 计算机与想象力 (Computers and the Imagination). New York: St. Martin's Press, 1991.Pickover, C. A. 绿野仙踪的数学:来自边缘的精神体操 (The Mathematics of Oz: Mental Gymnastics from Beyond the Edge). New York: Cambridge University Press, p. 238, 2002.Sharp, R. T. “问题 52” (Problem 52). Pi Mu Epsilon J. 1, 322, 1953.Sharp, R. T. “问题 52” (Problem 52). Pi Mu Epsilon J. 2, 411, 1954.Sloane, N. J. A. 序列 A001008/M2885, A002805/M1589, 和 A014537,收录于“整数序列在线百科全书” (The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences)。Sutton, R. “平衡问题” (A Problem of Balancing). Amer. J. Phys. 23, 547, 1955.Walker, J. 带答案的物理飞马戏团 (The Flying Circus of Physics with Answers). New York: Wiley, 1977.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

图书堆叠问题

请引用为

Weisstein, Eric W. “图书堆叠问题” (Book Stacking Problem). 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源. https://mathworld.net.cn/BookStackingProblem.html

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