梅尔滕斯常数

梅尔滕斯常数，也称为 Hadamard-de la Vallee-Poussin 常数、素数倒数常数（Bach and Shallit 1996，p. 234）或 Kronecker 常数（Schroeder 1997），是与孪生素数常数相关的常数，并出现在梅尔滕斯第二定理中，

(1)

其中求和是对素数进行的，是一个兰道符号。这个和类似于

(2)

其中是欧拉-马歇罗尼常数（Gourdon 和 Sebah）。

该常数由无穷级数给出

(3)

其中是欧拉-马歇罗尼常数，是第个素数（Rosser 和 Schoenfeld 1962；Hardy 和 Wright 1979；Le Lionnais 1983；Ellison 和 Ellison 1985），或者由以下极限给出

(4)

根据 Lindqvist 和 Peetre（1997），这由 Meissel 在 1866 年和 Mertens（1874）独立证明。公式 (3) 等价于

			(5)
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其中是素数 zeta 函数，这可以从 (5) 使用墨卡托级数得到，对于，其中。也由快速收敛级数给出

(7)

其中是黎曼 zeta 函数，是莫比乌斯函数（Flajolet 和 Vardi 1996，Schroeder 1997，Knuth 1998）。

梅尔滕斯常数的数值为

(8)

(OEIS A077761)。Knuth（1998）给出了的 40 位数字，Gourdon 和 Sebah 给出了 100 位数字。

乘积的渐近行为为

(9)

（Hardy 1999，p. 57），其中是欧拉-马歇罗尼常数，是渐近符号，这就是梅尔滕斯定理。

常数也出现在求和函数中，该函数是不同素因子的数量，

(10)

（Hardy 和 Wright 1979，p. 355）。

另请参阅

布伦常数, 调和级数, 梅尔滕斯第二定理, 素因子, 素数, 孪生素数常数

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更多尝试

参考文献

Bach, E. 和 Shallit, J. 算法数论，第 1 卷：高效算法。 Cambridge, MA: MIT Press, 1996.Ellison, W. J. 和 Ellison, F. 素数。 New York: Wiley, 1985.Finch, S. R. "Meissel-Mertens 常数。" §2.2 in 数学常数。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 94-98, 2003.Flajolet, P. 和 Vardi, I. "经典常数的 Zeta 函数展开。" 未发表的手稿。1996. http://algo.inria.fr/flajolet/Publications/landau.ps.Gourdon, X. 和 Sebah, P. "数论中的一些常数。" http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/constantsNumTheory.html.Hardy, G. H. 拉马努金：关于其生平和工作所提出的主题的十二次讲座，第 3 版。 New York: Chelsea, 1999.Hardy, G. H. 和 Wright, E. M. "梅尔滕斯定理。" §22.8 in 数论导论，第 5 版。 Oxford, England: Oxford University Press, pp. 351-353 和 355, 1979.Ingham, A. E. 素数分布。 London: Cambridge University Press, pp. 22-24, 1990.Knuth, D. E. 计算机程序设计艺术，第 2 卷：半数值算法，第 3 版。 Reading, MA: Addison-Wesley, 1998.Landau, E. 素数分布理论手册，第 3 版。 New York: Chelsea, pp. 100-102, 1974.Le Lionnais, F. 卓越的数。 Paris: Hermann, p. 24, 1983.Lindqvist, P. 和 Peetre, J. "关于梅尔滕斯级数中的余项。" Expos. Math. 15, 467-478, 1997.Mertens, F. J. für Math. 78, 46-62, 1874.Michon, G. P. "最终答案：数值常数。" http://home.att.net/~numericana/answer/constants.htm#mertens.Montgomery, H. L. 乘法数论主题。 New York: Springer-Verlag, 1971.Rosser, J. B. 和 Schoenfeld, L. "素数某些函数的近似公式。" Ill. J. Math. 6, 64-94, 1962.Schroeder, M. R. 科学与通信中的数论，在密码学、物理学、数字信息、计算和自相似性中的应用，第 3 版。 New York: Springer-Verlag, 1997.Sloane, N. J. A. "整数序列在线百科全书" 中的序列 A077761、A083342 和 A083343。Tenenbaum, G. 和 Mendes-France, M. 素数及其分布。 Providence, RI: Amer. Math. Soc., p. 22, 2000.Titchmarsh, E. C. 黎曼 Zeta 函数理论，第 2 版。 New York: Clarendon Press, 1987.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

梅尔滕斯常数

请引用为

Weisstein, Eric W. “梅尔滕斯常数。” 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/MertensConstant.html

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