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素数调和级数


与整个调和级数一样,素数调和级数

 sum_(k=1)^infty1/(p_k)=infty
(1)

对所有素数求和的 p_k 也发散,正如欧拉在 1737 年首次证明的那样 (Nagell 1951, p. 59; Hardy and Wright 1979, pp. 17 and 22; Wells 1986, p. 41; Havil 2003, pp. 28-31),虽然它发散得非常缓慢。 素数个数分别达到 3, 59, 361139, ... (OEIS A046024) 后,其和会超过 1, 2, 3, ...

其渐近行为由下式给出

 sum_(p prime)^x1/p=lnlnx+B_1+o(1),
(2)

其中

 B_1=0.2614972128...
(3)

(OEIS A077761) 是梅尔滕斯常数 (Hardy and Wright 1979, p. 351; Hardy 1999, p. 50; Havil 2003, p. 64)。


另请参阅

调和级数, 素数和

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Hardy, G. H. 拉马努金:关于其生平和工作提出的主题的十二次讲座,第 3 版 New York: Chelsea, 1999.Hardy, G. H. and Wright, E. M. "素数" and "素数序列"。 §1.2 and 1.4 in 数论导论,第 5 版 Oxford, England: Clarendon Press, pp. 1-4, 17, 22, and 251, 1979.Havil, J. "素数调和级数"。 §3.2 in Gamma:探索欧拉常数。 Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 28-31, 2003.Nagell, T. 数论导论。 New York: Wiley, 1951.Sloane, N. J. A. 整数数列 A046024A077761 在 "整数数列线上百科全书" 中。Wells, D. 企鹅好奇和有趣的数字词典。 Middlesex, England: Penguin Books, p. 41, 1986.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

素数调和级数

请引用为

Weisstein, Eric W. "素数调和级数"。来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/HarmonicSeriesofPrimes.html

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