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Kempner级数

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d求和OEIS
023.10344A082839
116.17696A082830
219.25735A082831
320.56987A082832
421.32746A082833
521.83460A082834
622.20559A082835
722.49347A082836
822.72636A082837
922.92067A082838

Kempner级数 K_d 是通过从调和级数中移除所有包含单个数字 d 的项而获得的级数。 令人惊讶的是，虽然调和级数发散，但所有 10 个 Kempner 级数都收敛。 例如，

K_1=1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/(20)+1/(22)+1/(23)+....

虽然它们很难计算，但上表总结了 Baillie (1979; Havil 2003, pp. 33-34) 计算出的近似值。

Schmelzer 和 Baillie (2008) 设计了一种改进的算法，用于对更一般的 Kempner 级数求和，例如 sum_(n=1)^(infty)1/n 其中 n 的数字不包含字符串 314。 此总和的近似值为 2299.829782...。 一般来说，当从求和的 k 中排除长度为 n 的特定字符串时，sum_(k=1)^(infty)1/k 近似由 10^nln10 给出 (Baillie 和 Schmelzer 2008)。

另请参阅

调和级数

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参考文献

Baillie, R. "Sums of Reciprocals of Integers Missing a Given Digit." Amer. Math. Monthly 86, 372-374, 1979.Baillie, R. and Schmelzer, T. "Summing Kempner's Curious (Slowly-Convergent) Series." May 20, 2008. http://library.wolfram.com/infocenter/MathSource/7166/.Havil, J. "The Kempner Series." §3.3 in Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 31-34, 2003.Schmelzer, T. and Baillie, R. "Summing Kempner's Curious, Slowly-Convergent Series." Amer. Math. Monthly 115, 525-540, 2008.Sloane, N. J. A. Sequences A082830, A082831, A082832, A082833, A082834, A082835, A082836, A082837, A082838, A082839 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Wadhwa, A. D. "Some Convergent Subseries of the Harmonic Series." Amer. Math. Monthly 85, 661-663, 1978.Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, rev. ed. Middlesex, England: Penguin Books, 1997.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

Kempner级数

引用为

Weisstein, Eric W. “Kempner 级数。” 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/KempnerSeries.html

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