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欧拉和

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在回覆哥德巴赫的信中，欧拉考虑了以下形式的和

s_h(m,n)=sum_(k=1)^(infty)(1+1/2+...+1/k)^m(k+1)^(-n)
(1)
=sum_(k=1)^(infty)[gamma+psi_0(k+1)]^m(k+1)^(-n)
(2)

其中 m>=1 且 n>=2 并且其中 gamma 是 欧拉-马歇罗尼常数，而 Psi(x)=psi_0(x) 是双伽玛函数。欧拉找到了 s(1,n) 的显式公式，以 黎曼zeta函数 表示，其中 n>=2。E. Au-Yeung 数值发现了

sum_(k=1)^infty(1+1/2+...+1/k)^2k^(-2)=(17)/4zeta(4),
(3)

其中 zeta(z) 是 黎曼zeta函数，随后被严格证明为真（Borwein 和 Borwein 1995）。涉及 k^(-n) 的和可以用 (k+1)^(-n) 形式的和通过下式重新表示

sum_(k=1)^(infty)(1+1/(2^m)+...+1/(k^m))k^(-n)=sum_(k=0)^(infty)[1+1/(2^m)+...+1/((k+1)^m)](k+1)^(-n)
(4)
=sum_(k=1)^(infty)(1+1/(2^m)+...+1/(k^m))(k+1)^(-n)+sum_(k=1)^(infty)k^(-(m+n))
(5)
=sigma_h(m,n)+zeta(m+n)
(6)

和

sum_(k=1)^infty(1+1/2+...+1/k)^2k^(-n) =s_h(2,n)+2s_h(1,n+1)+zeta(n+2),
(7)

其中 sigma_h 定义如下。

Bailey et al. (1994) 随后考虑了 以下形式的和

s_h(m,n)=sum_(k=1)^(infty)(1+1/2+...+1/k)^m(k+1)^(-n)
(8)
s_a(m,n)=sum_(k=1)^(infty)[1-1/2+...+((-1)^(k+1))/k]^m(k+1)^(-n)
(9)
a_h(m,n)=sum_(k=1)^(infty)(1+1/2+...+1/k)^m(-1)^(k+1)(k+1)^(-n)
(10)
a_a(m,n)=sum_(k=1)^(infty)(1-1/2+...+((-1)^(k+1))/k)^m(-1)^(k+1)(k+1)^(-n)
(11)
sigma_h(m,n)=sum_(k=1)^(infty)(1+1/(2^m)+...+1/(k^m))(k+1)^(-n)
(12)
sigma_a(m,n)=sum_(k=1)^(infty)[1-1/(2^m)+...+((-1)^(k+1))/(k^m)](k+1)^(-n)
(13)
alpha_h(m,n)=sum_(k=1)^(infty)(1+1/(2^m)+...+1/(k^m))(-1)^(k+1)(k+1)^(-n)
(14)
alpha_a(m,n)=sum_(k=1)^(infty)(1-1/(2^m)+...+((-1)^(k+1))/(k^m))(-1)^(k+1)(k+1)^(-n),
(15)

其中 s_h 和 a_a 具有特殊形式

s_h(m,n)=sum_(k=1)^(infty)[gamma+psi_0(n+1)]^m(k+1)^(-n)
(16)
a_a(m,n)=sum_(k=1)^(infty){ln2+1/2(-1)^n[psi_0(1/2n+1/2)-psi_0(1/2n+1)]}^m(k+1)^(-m)
(17)
alpha_h(m,n)=(1-2^(1-m-n))zeta(m+n)-sum_(k=1)^(infty)((-1)^(k+1)H_(k,m))/(k^n),
(18)

其中 H_(k,m) 是广义调和数。

许多这些和可以用多元zeta函数表示，例如，

s_a(2,3)=2zeta(3,-1,-1)+zeta(3,2)
(19)

(Bailey et al. 2006a, p. 39, 符号已更正；Bailey et al. 2006b)。

特殊情况包括

sigma_h(r,r)=1/2{[zeta(r)]^2-zeta(2r)}
(20)

（P. Simone，私人通讯，2004 年 8 月 30 日）。

可以为以下情况构建关于 zeta(z) 的解析单和双重和

s_h(1,n)=1/2nzeta(n+1)-1/2sum_(k=1)^(n-2)zeta(n-k)zeta(k+1)
(21)
s_h(2,n)=1/3n(n+1)zeta(n+2)+zeta(2)zeta(n)-1/2nsum_(k=0)^(n-2)zeta(n-k)zeta(k+2)+1/3sum_(k=2)^(n-2)zeta(n-k)sum_(j=1)^(k-1)zeta(j+1)zeta(k+1-j)+sigma_h(2,n)
(22)
s_h(2,2n-1)=1/6(2n^2-7n-3)zeta(2n+1)+zeta(2)zeta(2n-1)-1/2sum_(k=1)^(n-2)(2k-1)zeta(2n-1-2k)zeta(2k+2)+1/3sum_(k=1)^(n-2)zeta(2k+1)sum_(j=1)^(n-2-k)zeta(2j+1)zeta(2n-1-2k-2j)
(23)
sigma_h(1,n)=s_h(1,n)
(24)
sigma_h(2,2n-1)=-1/2(2n^2+n+1)zeta(2n+1)+zeta(2)zeta(2n-1)+sum_(k=1)^(n-1)2kzeta(k+1)zeta(2n-2k)
(25)
sigma_h(m even,n odd)=1/2[(m+n; m)-1]zeta(m+n)+zeta(m)zeta(n)-sum_(j=1)^(m+n)[(2j-2; m-1)+(2j-2; n-1)]zeta(2j-1)zeta(m+n-2j+1)
(26)
sigma_h(m odd,n even)=-1/2[(m+n; m)+1]zeta(m+n)+sum_(k=1)^(m+n)[(2j-2; m-1)+(2j-2; n-1)]zeta(2j-1)zeta(m+n-2j+1),
(27)

其中 (n; m) 是二项式系数。使用 PSLQ 算法推断的显式公式包括

s_h(2,2)=3/2zeta(4)+1/2[zeta(2)]^2
(28)
=(11)/(360)pi^4
(29)
s_h(2,4)=2/3zeta(6)-1/3zeta(2)zeta(4)+1/3[zeta(2)]^3-[zeta(3)]^2
(30)
=(37)/(22680)pi^6-[zeta(3)]^2
(31)
s_h(3,2)=(15)/2zeta(5)+zeta(2)zeta(3)
(32)
s_h(3,3)=-(33)/(16)zeta(6)+2[zeta(3)]^2
(33)
s_h(3,4)=(119)/(16)zeta(7)-(33)/4zeta(3)zeta(4)+2zeta(2)zeta(5)
(34)
s_h(3,6)=(197)/(24)zeta(9)-(33)/4zeta(4)zeta(5)-(37)/8zeta(3)zeta(6)+[zeta(3)]^3+3zeta(2)zeta(7)
(35)
s_h(4,2)=(859)/(24)zeta(6)+3[zeta(3)]^2
(36)
s_h(4,3)=-(109)/8zeta(7)+(37)/2zeta(3)zeta(4)-5zeta(2)zeta(5)
(37)
s_h(4,5)=-(29)/2zeta(9)+(37)/2zeta(4)zeta(5)+(33)/4zeta(3)zeta(6)-8/3[zeta(3)]^3-7zeta(2)zeta(7)
(38)
s_h(5,2)=(1855)/(16)zeta(7)+33zeta(3)zeta(4)+(57)/2zeta(2)zeta(5)
(39)
s_h(5,4)=(890)/9zeta(9)+66zeta(4)zeta(5)-(4295)/(24)zeta(3)zeta(6)-5[zeta(3)]^3+(265)/8zeta(2)zeta(7)
(40)
s_h(6,3)=-(3073)/(12)zeta(9)-243zeta(4)zeta(5)+(2097)/4zeta(3)zeta(6)+(67)/3[zeta(3)]^3-(651)/8zeta(2)zeta(7)
(41)
s_h(7,2)=(134701)/(36)zeta(9)+(15697)/8zeta(4)zeta(5)+(29555)/(24)zeta(3)zeta(6)+56[zeta(3)]^3+(3287)/4zeta(2)zeta(7)
(42)

对于 s_h,

s_a(2,3)=4Li(1/2)-1/(30)ln^52-(17)/(32)zeta(5)-(11)/(720)pi^4ln2+7/4zeta(3)ln^22+1/(18)pi^2ln^32-1/8pi^2zeta(3)
(43)

对于 s_a，由 Borwein 和 Bailey (2003, pp. 24-25) 作为一个挑战性问题提出，并在 Bailey et al. (2006a, p. 39; Bailey et al. 2006b) 中讨论，

a_h(2,2)=-2Li_4(1/2)-1/(12)(ln2)^4+(99)/(48)zeta(4)-7/4zeta(3)ln2+1/2zeta(2)(ln2)^2
(44)
a_h(2,3)=-4Li_5(1/2)-4(ln2)Li_4(1/2)-2/(15)(ln2)^5+(107)/(32)zeta(5)+(107)/(32)zeta(5)-7/4zeta(3)(ln2)^2+2/3zeta(2)(ln2)^3+3/8zeta(2)zeta(3)
(45)
a_h(3,2)=6Li_5(1/2)+6(ln2)Li_4(1/2)+1/5(ln2)^5-(33)/8zeta(5)+(21)/8zeta(3)(ln2)^2-zeta(2)(ln2)^3-(15)/(16)zeta(2)zeta(3)
(46)

对于 a_h，以及

a_a(2,2)=-4Li_4(1/2)-1/6(ln2)^4+(37)/(16)zeta(4)+7/4zeta(3)(ln2)-2zeta(2)(ln2)^2
(47)
a_a(2,3)=4(ln2)Li_4(1/2)+1/6(ln2)^5-(79)/(32)zeta(5)+(11)/8zeta(4)(ln2)-zeta(2)(ln2)^3+3/8zeta(2)zeta(3)
(48)

对于 a_a，其中 Li_n 是多对数函数，而 zeta(z) 是 黎曼zeta函数 (Bailey 和 Plouffe 1997, Bailey et al. 1994)。在这些恒等式中，只有 s_h(2,4) (P. Simone，私人通讯，2004 年 8 月 30 日), s_h(3,2), s_h(3,3) 和 s_a(m,n), a_h(m,n) 以及 a_a(m,n) 的恒等式已被严格确立。

另请参阅

多重级数, 多元 Zeta 函数

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参考文献

Adamchik, V. "论斯特林数和欧拉和。" J. Comput. Appl. Math. 79, 119-130, 1997. http://www-2.cs.cmu.edu/~adamchik/articles/stirling.htm.Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Calkin, N. J.; Girgensohn, R.; Luke, D. R.; 和 Moll, V. H. 行动中的实验数学。 Wellesley, MA: A K Peters, 2006. http://crd.lbl.gov/~dhbailey/expmath/maa-course/hyper-ema.pdf.Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; 和 Girgensohn, R. "欧拉和的实验评估。" Exper. Math. 3, 17-30, 1994.Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Kapoor, V.; 和 Weisstein, E. W. "实验数学中的十个问题。" Amer. Math. Monthly 113, 481-509, 2006.Bailey, D. 和 Plouffe, S. "识别数值常数。" 有机数学。1995 年 12 月 12-14 日在加拿大不列颠哥伦比亚省伯纳比举行的研讨会论文集 (编辑 J. Borwein, P. Borwein, L. Jörgenson, 和 R. Corless)。Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 73-88, 1997.Berndt, B. C. 拉马努金的笔记本：第一部分。 New York: Springer-Verlag, 1985.Borwein, J. 和 Bailey, D. "欧拉和的识别。" §2.5 in 实验数学：21世纪的合理推理。 Wellesley, MA: A K Peters, pp. 56-58, 2003.Borwein, D. 和 Borwein, J. M. "关于一些涉及 zeta(4) 的有趣的和。" Proc. Amer. Math. Soc. 123, 111-118, 1995.Borwein, D. 和 Borwein, J. M. "关于一个有趣的积分和一些与 zeta(4) 相关的级数。" Proc. Amer. Math. Soc. 123, 1191-1198, 1995.Borwein, D.; Borwein, J. M.; 和 Girgensohn, R. "欧拉和的显式评估。" Proc. Edinburgh Math. Soc. 38, 277-294, 1995.Borwein, J. M.; Bradley, D. M.; Broadhurst, D. J.; 和 Lisonek, P. "多维多对数函数的特殊值。" Trans. Amer. Math. Soc. 353, 907-941, 2001.Boyadzhiev, K. N. "欧拉-Zagier 和的评估。" Int. J. Math. Math. Sci. 27, 407-412, 2001. http://www2.onu.edu/~kboyadzh/e-zagier.pdf.Boyadzhiev, K. N. "欧拉和的连续评估。" Int. J. Math. Math. Sci. 29, 555-561, 2002. http://www2.onu.edu/~kboyadzh/euler-c(1).pdf.Broadhurst, D. J. "不可约 k-重欧拉和的枚举及其在纽结理论和场论中的作用。" 1996 年 4 月 22 日。 http://arxiv.org/abs/hep-th/9604128Broadhurst, D. J. "可简化为单位六次根代数的 SC^* 原语的大质量 3 环费曼图。" 1998 年 3 月 11 日。 http://arxiv.org/abs/hep-th/9803091.de Doelder, P. J. "关于一些包含 Psi(x)-Psi(y) 和 (Psi(x)-Psi(y))^2 的级数，适用于 x 和 y 的特定值。" J. Comp. Appl. Math. 37, 125-141, 1991.Ferguson, H. R. P.; Bailey, D. H.; 和 Arno, S. "PSLQ 的分析，一种整数关系查找算法。" Math. Comput. 68, 351-369, 1999.Flajolet, P. 和 Salvy, B. "欧拉和与围道积分表示。" Experim. Math. 7, 15-35, 1998.

在 Wolfram|Alpha 上引用

欧拉和

请引用本文为

Weisstein, Eric W. "欧拉和。" 来自 MathWorld--Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/EulerSum.html

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