调和映射

一个映射 ，在两个紧 黎曼流形之间，如果它是能量泛函的临界点，则称为调和映射

微分 的范数由 和 上的度量给出，而 是 上的测度。通常，允许的映射类别位于映射的固定同伦类中。

能量泛函的欧拉-拉格朗日微分方程是一个非线性椭圆偏微分方程。例如，当 是圆时，欧拉-拉格朗日方程与测地线方程相同。因此， 是闭合测地线 当且仅当 是调和的。从圆到标准2-球面的赤道的映射是一个调和映射，将圆映射到赤道周围 次的映射也是调和映射，对于任何整数 而言。请注意，这些都位于相同的同伦类中。更高维的例子是紧黎曼曲面上的亚纯函数，它是到黎曼球面的调和映射。

调和映射可能并非总是在同伦类中存在，即使存在也可能不是唯一的。当 是负曲率的时，每个同伦类都存在一个调和代表元，并且也是唯一的。对于曲面，调和映射已被分类，并且精确地是全纯映射和反全纯映射。因此，根据曲面的霍奇定理，从球面到环面不存在非平凡的调和映射。

黎曼流形之间的调和映射可以看作是测地线在定义域维度为一时，或调和函数在值域为欧几里得空间时的推广。