等时降落问题 -- 来自 Wolfram MathWorld

等时降落问题

等时降落问题是指找到这样一条曲线，使得一个珠子从曲线上任何位置滑落到最低点的时间都相同。解是摆线，这个事实最早由惠更斯在摆钟 (1673) 中发现并发表。梅尔维尔在白鲸记的以下段落中也暗示了这一性质：“[炼油锅]也是一个进行深刻数学思考的地方。在皮科德号左舷的炼油锅里，我勤奋地用皂石绕着我转圈，我第一次间接地被一个非凡的事实所震撼，那就是在几何学中，所有沿着摆线滑动的物体，例如我的皂石，从任何一点下降的时间都完全相同”（梅尔维尔 1851 年）。

惠更斯还制造了第一个摆钟，该钟带有一个装置，通过迫使摆锤在摆线弧线中摆动来确保摆锤是等时的。这是通过在摆锤悬挂点的每一侧放置两个反向摆线弧的渐屈线来实现的，摆锤被约束在渐屈线上移动（Wells 1991, p. 47; Gray 1997, p. 123）。不幸的是，沿弧线的摩擦造成的误差比摆线路径校正的误差更大（Gardner 1984）。

摆线的参数方程是

			(1)
			(2)

为了理解摆线满足等时性，考虑其导数

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以及

			(5)
			(6)

现在

(7)

(8)

			(9)
			(10)
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			(12)

因此，从摆线顶部到底部所需的时间是

(13)

然而，从中间点，

(14)

所以

			(15)
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为了积分，使用半角公式重新整理这个方程

			(17)
			(18)

后者可以改写为

(19)

得到

(20)

现在变换变量为

			(21)
			(22)

所以

			(23)
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			(25)

从任何点出发，所需时间都相同。

另请参阅

最速降线问题, 摆线

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参考文献

Gardner, M. 科学美国人数学游戏第六辑。 Chicago, IL: University of Chicago Press, pp. 129-130, 1984.Gray, A. 使用 Mathematica 的曲线和曲面的现代微分几何，第二版。 Boca Raton, FL: CRC Press, 1997.Lagrange, J. L. "Sue les courbes tautochrones." Mém. de l'Acad. Roy. des Sci. et Belles-Lettres de Berlin 21, 1765. Reprinted in Oeuvres de Lagrange, tome 2, section deuxième: Mémoires extraits des recueils de l'Academie royale des sciences et Belles-Lettres de Berlin. Paris: Gauthier-Villars, pp. 317-332, 1868.Melville, H. "The Tryworks." Ch. 96 in 白鲸记。 New York: Bantam, 1981. Originally published in 1851.

Muterspaugh, J.; Driver, T.; and Dick, J. E. "摆线与等时性。" http://php.indiana.edu/~jedick/project/intro.html

Muterspaugh, J.; Driver, T.; and Dick, J. E. "P221 等时降落问题。" http://php.indiana.edu/~jedick/project/project.htmlPhillips, J. P. "最速降线、等时降线、摆线——纷争之源。" Math. Teacher 60, 506-508, 1967.Wagon, S. Mathematica 实践。 New York: W. H. Freeman, pp. 54-60 and 384-385, 1991.Wells, D. 企鹅好奇和有趣的几何学词典。 London: Penguin, pp. 46-47, 1991.

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Weisstein, Eric W. "等时降落问题。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/TautochroneProblem.html

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