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丢番图方程——3次幂

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作为 华林问题 研究的一部分，已知每个正整数都是不超过 9 个正立方数的和 (g(3)=9)，每个“足够大的”整数都是不超过 7 个正立方数的和 (Linnik 1943; G(3)<=7; 尽管尚不清楚 7 是否可以减少)，并且每个整数都是至多 5 个带符号的立方数的和 (eg(3)<=5; 尽管尚不清楚 5 是否可以减少到 4)。

Elkies (2010) 通过证明每个大于 454 的 偶数 都是至多七个正立方数的和，解决了偶数的第二种情况。 Siksek (2015) 随后证明所有大于 454 的整数都是至多七个正立方数的和。 需要超过 7 个正立方数的完整例外数集为 15、22、23、50、114、167、175、186、212、231、238、239、303、364、420、428 和 454 (OEIS A018888)，正如 Jacobi (1851) 所推测的那样。

已知每个 n 可以写成形式

n=A^2+B^2-C^3.
(1)

形式为 y^2=x^3+n 的 椭圆曲线，其中 n 是整数，被称为 莫德尔曲线。

3.1.2 方程

A^3=B^3+C^3
(2)

是 费马最后定理 的一个 n=3 情况。 事实上，早在 费马最后定理 的普遍有效性被确立之前，就已知这种特殊情况没有任何解。 Thue 表明，形式为 的丢番图方程

AX^3-BY^3=l
(3)

对于整数 A、B 和 l，只有有限多个解 (Hardy 1999, pp. 78-79)。

Miller 和 Woollett (1955) 以及 Gardineret al. (1964) 研究了

A^3+B^3+C^3=D,
(4)

的整数解，即可以表示为三个（正或负）立方数之和的数。

3.1.3 方程的一般有理数解

A^3=B^3+C^3+D^3
(5)

由 Euler 和 Vieta 发现 (Hardy 1999, pp. 20-21; Dickson 2005, pp. 550-554)。 Hardy 和 Wright (1979, pp. 199-201) 给出了一个基于恒等式的解

a^3(a^3+b^3)^3=b^3(a^3+b^3)^3+a^3(a^3-2b^3)^3+b^3(2a^3-b^3)^3
(6)
a^3(a^3+2b^3)^3=a^3(a^3-b^3)^3+b^3(a^3-b^3)^3+b^3(2a^3+b^3)^3.
(7)

这等价于 Ramanujan 发现的一般 3.2.2 解 (Berndt 1994, pp. 54 和 107; Hardy 1999, p. 11, 68 和 237; Dickson 2005, pp. 500 和 554)。 Ramanujan 还给出了一个部分二次型恒等式 (Berndt 1994, p. 56)

(3x^2+5xy-5y^2)^3+(4x^2-4xy+6y^2)^3+(5x^2-5xy-3y^2)^3 =(6x^2-4xy+4y^2)^3,
(8)

其中的第一个实例给出了漂亮的方程 3^3+4^3+5^3=6^3=216，它是 柏拉图数 之一。 可以使用恒等式找到这种部分二次型参数化

(ax^2+v_1xy+bwy^2)^3+(bx^2-v_1xy+awy^2)^3+(cx^2+v_2xy+dwy^2)^3+(dx^2-v_2xy+cwy^2)^3 =(a^3+b^3+c^3+d^3)(x^2+wy^2)^3,
(9)

其中 v_1=-(c^2-d^2)、v_2=a^2-b^2 和 w=(a+b)(c+d)，并且简化为寻找 a^3+b^3+c^3+d^3=0 的解（或者总和可以是任意数量的立方数），这只是一个更一般的恒等式的特例 (Piezas 2005)。

22 个最小的整数解是

3^3+4^3+5^3=6^3
(10)
1^3+6^3+8^3=9^3
(11)
3^3+10^3+18^3=19^3
(12)
7^3+14^3+17^3=20^3
(13)
4^3+17^3+22^3=25^3
(14)
18^3+19^3+21^3=28^3
(15)
11^3+15^3+27^3=29^3
(16)
2^3+17^3+40^3=41^3
(17)
6^3+32^3+33^3=41^3
(18)
16^3+23^3+41^3=44^3
(19)
3^3+36^3+37^3=46^3
(20)
27^3+30^3+37^3=46^3
(21)
29^3+34^3+44^3=53^3
(22)
12^3+19^3+53^3=54^3
(23)
15^3+42^3+49^3=58^3
(24)
22^3+51^3+54^3=67^3
(25)
36^3+38^3+61^3=69^3
(26)
7^3+54^3+57^3=70^3
(27)
14^3+23^3+70^3=71^3
(28)
34^3+39^3+65^3=72^3
(29)
38^3+43^3+66^3=75^3
(30)
31^3+33^3+72^3=76^3.
(31)

其他小解包括

28^3+53^3+75^3=84^3
(32)
26^3+55^3+78^3=87^3
(33)
33^3+70^3+92^3=105^3
(34)
1^3+71^3+138^3=144^3
(35)
1^3+135^3+138^3=172^3
(36)
1^3+372^3+426^3=505^3
(37)
1^3+426^3+486^3=577^3
(38)
1^3+566^3+823^3=904^3
(39)
1^3+242^3+720^3=729^3
(40)
1^3+791^3+812^3=1010^3
(41)
1^3+236^3+1207^3=1210^3
(42)
1^3+575^3+2292^3=2304^3
(43)
1^3+1938^3+2820^3=3097^3
(44)
1^3+2676^3+3230^3=3753^3
(45)
1^3+1124^3+5610^3=5625^3
(46)
1^3+2196^3+5984^3=6081^3
(47)
1^3+1943^3+6702^3=6756^3
(48)
1^3+1851^3+8675^3=8703^3
(49)

(Fredkin 1972; Madachy 1979, pp. 124 和 141; Dutch)。 Wroblewski 维护着一个和为 z^3，对于所有 z<1000000 的数据库。

Binet (1841) 和 Schwering (1902) 发现了其他一般解，尽管 Ramanujan 的公式是最简单的。 尚不清楚给出所有正整数解的一般解 (Dickson 2005, pp. 550-561)。 Y. Kohmoto 找到了一个 3.1.3^9 解，

2100000^3=2046000^3+882000^3+216000^3
(50)
=1979600^3+1145400^3+85000^3
(51)
=2081100^3+628110^3+1890^3
(52)
=2043150^3+901200^3+30450^3
(53)
=2002280^3+1072480^3+30360^3
(54)
=1960480^3+1199520^3+15200^3
(55)
=1948800^3+1229760^3+30240^3
(56)
=2078160^3+658812^3+13188^3
(57)
=2009112^3+1048040^3+13888^3.
(58)

3.1.4 方程包括

11^3+12^3+13^3+14^3=20^3
(59)
5^3+7^3+9^3+10^3=13^3.
(60)

3.1.5 方程包括

1^3+3^3+4^3+5^3+8^3=9^3
(61)
3^3+4^3+5^3+8^3+10^3=12^3,
(62)

3.1.6 方程由下式给出

1^3+5^3+6^3+7^3+8^3+10^3=13^3.
(63)

3.2.2 方程

A^3+B^3=C^3+D^3
(64)

有一个已知的参数解 (Guy 1994, p. 140; Dickson 2005, pp. 550-554)，以及 10 个和 <10^5 的解，

1729=1^3+12^3=9^3+10^3
(65)
4104=2^3+16^3=9^3+15^3
(66)
13832=2^3+24^3=18^3+20^3
(67)
20683=10^3+27^3=19^3+24^3
(68)
32832=4^3+32^3=18^3+30^3
(69)
39312=2^3+34^3=15^3+33^3
(70)
40033=9^3+34^3=16^3+33^3
(71)
46683=3^3+36^3=27^3+30^3
(72)
64232=17^3+39^3=26^3+36^3
(73)
65728=12^3+40^3=31^3+33^3
(74)

(OEIS A001235; Moreau 1898)。 此序列中的第一个数字（Madachy 1979，pp. 124 和 141），即所谓的 哈代-拉马努金数，与 G. H. Hardy 讲述的关于 Ramanujan 的故事有关，但早在 1657 年就已为人所知 (Berndt 和 Bhargava 1993)。 可以用 n 种方式表示为立方和的最小数字称为第 n 个 出租车数。

Ramanujan 给出了 3.2.2 方程的一般解为

(alpha+lambda^2gamma)^3+(lambdabeta+gamma)^3=(lambdaalpha+gamma)^3+(beta+lambda^2gamma)^3
(75)

其中

alpha^2+alphabeta+beta^2=3lambdagamma^2
(76)

(Berndt 和 Bhargava 1993; Berndt 1994, p. 107)。 Ramanujan 的另一种形式是

(A^2+7AB-9B^2)^3+(2A^2-4AB+12B^2)^3 =(2A^2+10B^2)^3+(A^2-9AB-B^2)^3.
(77)

Hardy 和 Wright (1979, 定理 412) 证明，对于任何 n，都存在可以用 n 种方式表示为两个立方和的数字 (Guy 1994, pp. 140-141)。 该证明是建设性的，提供了一种计算此类数字的方法：给定有理数 r 和 s，计算

t=(r(r^3+2s^3))/(r^3-s^3)
(78)
u=(s(2r^3+s^3))/(r^3-s^3)
(79)
v=(t(t^3-2u^3))/(t^3+u^3)
(80)
w=(u(2t^3-u^3))/(t^3+u^3).
(81)

然后

r^3+s^3=t^3-u^3=v^3+w^3
(82)

现在可以清除分母以产生整数解。 如果选择 r/s 足够大，则 v 和 w 将为正数。 如果 r/s 仍然更大，则 v/w 将足够大，以便 v 和 w 可以用作输入以产生第三对，依此类推。 然而，即使对于 n=2，得到的整数也可能非常大。 例如，从 3^3+1^3=28 开始，该算法发现

28=((28340511)/(21446828))^3+((63284705)/(21446828))^3,
(83)

给出

28·21446828^3=(3·21446828)^3+21446828^3
(84)
=28340511^3+63284705^3.
(85)

可以用三种方式表示为两个立方和的数字 (一个 3.2^3 方程) 是

87539319=167^3+436^3=228^3+423^3=255^3+414^3
(86)
119824488=11^3+493^3=90^3+492^3=346^3+428^3
(87)
143604279=111^3+522^3=359^3+460^3=408^3+423^3
(88)
175959000=70^3+560^3=198^3+552^3=315^3+525^3
(89)
327763000=300^3+670^3=339^3+661^3=510^3+580^3
(90)

(Guy 1994, OEIS A003825)。 Wilson (1997) 发现了 32 个可以用四种方式表示为两个立方和的数字 (一个 3.2^4 方程)。 第一个是

6963472309248=2421^3+19083^3=5436^2+18948^3 =10200^3+18072^3=13322^3+16630^3.
(91)

已知可以用这种方式表示的最小数字是 6963472309248、12625136269928、21131226514944、26059452841000, ... (OEIS A003826)。 Wilson 还发现了六个五向和，

48988659276962496=38787^3+365757^3
(92)
=107839^3+362753^3
(93)
=205292^3+342952^3
(94)
=221424^3+336588^3
(95)
=231518^3+331954^3
(96)
490593422681271000=48369^3+788631^3
(97)
=233775^3+781785^3
(98)
=285120^3+776070^3
(99)
=543145^3+691295^3
(100)
=579240^3+666630^3
(101)
6355491080314102272=103113^3+1852215^3
(102)
=580488^3+1833120^3
(103)
=788724^3+1803372^3
(104)
=1150792^3+1690544^3
(105)
=1462050^3+1478238^3
(106)
27365551142421413376=167751^3+3013305^3
(107)
=265392^3+3012792^3
(108)
=944376^3+2982240^3
(109)
=1283148^3+2933844^3
(110)
=1872184^3+2750288^3
(111)
1199962860219870469632=591543^3+10625865^3
(112)
=935856^3+10624056^3
(113)
=3330168^3+10516320^3
(114)
=6601912^3+9698384^3
(115)
=8387550^3+8480418^3
(116)
111549833098123426841016=1074073^3+48137999^3
(117)
=8787870^3+48040356^3
(118)
=13950972^3+47744382^3
(119)
=24450192^3+45936462^3
(120)
=33784478^3+41791204^3,
(121)

以及一个单向六向和

8230545258248091551205888 =11239317^3+201891435^3 =17781264^3+201857064^3 =63273192^3+199810080^3 =85970916^3+196567548^3 =125436328^3+184269296^3 =159363450^3+161127942^3.
(122)

3.4.4 方程的解是

2^3+3^3+10^3+11^3=1^3+5^3+8^3+12^3
(123)

(Madachy 1979, pp. 118 和 133)。

3.6.6 方程也存在

1^3+2^3+4^3+8^3+9^3+12^3=3^3+5^3+6^3+7^3+10^3+11^3
(124)
87^3+233^3+264^3+396^3+496^3+540^3
(125)
=90^3+206^3+309^3+366^3+522^3+523^3.
(126)

(Madachy 1979, p. 142; Chen Shuwen)。

在 1756-1757 年，Euler (1761, 1849, 1915) 给出了

A^3+B^3=C^2
(127)

的参数解为

A=3n^3+6n^2-n
(128)
B=-3n^3+6n^2+n
(129)
C=6n^2(3n^2+1),
(130)

尽管互质解需要使用 n 的分数值 (Dickson 2005, p. 578)。 为了避免这种情况，Euler 还给出了以下解

A=4mn(3m^2-3mn+n^2)
(131)
B=(m-n)(3m-n)(3m^2+n^2)
(132)
C=(3m^2-n^2)(9m^4-18m^3n+18m^2n^2-6mn^3+n^4)
(133)

对于 GCD(A+B,A^2-AB+B^2)=1，以及

A=3m^4+6m^2n^2-n^4
(134)
B=-3m^4+6m^2n^2+n^4
(135)
C=6mn(3m^4+n^4)
(136)

对于 GCD(A+B,A^2-AB+B^2)=3 (Dickson 2005, p. 579)。

另请参阅

炮弹问题, 立方数, 哈代-拉马努金数, 多重次数方程, Super-d 数, 出租车数, 自守数, 华林问题

此条目的部分内容由 Tito Piezas III 贡献

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参考文献

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引用为

Piezas, Tito III 和 Weisstein, Eric W. "丢番图方程——3次幂。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/DiophantineEquation3rdPowers.html

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