多面体图

一个 -多面体图（有时称为 -网）是一个在 个节点上的 3-连通 简单 平面图。每个 凸多面体 都可以通过一个 3-连通 平面图 在平面上或球面上表示。相反，根据 Steinitz 定理（由 Grünbaum (2003, p. 235) 重述），每个 3-连通 平面图 都可以实现为 凸多面体 (Duijvestijn and Federico 1981)。多面体图有时简称为“多面体”（但这相当令人困惑，因为术语“多面体”更常指具有 个面，而不是 个顶点）。

具有 , 2, ... 个顶点的不同多面体图的数量为 0, 0, 0, 1, 2, 7, 34, 257, 2606, ... (OEIS A000944; Grünbaum 2003, p. 424; Duijvestijn 和 Federico 1981; Croft et al. 1991; Dillencourt 1992)。通过 对偶性，每个 个节点上的多面体图对应于一个具有 个面的图（和多面体）。因此， 个节点上的多面体图与具有 个面的凸多面体同构。因此，存在一个 四面体图，两个 五面体图，等等，这也意味着存在一个 四面体，两个 五面体，等等。

目前还没有已知的公式来枚举按边数 、顶点数 或面数 划分的非同构多面体图的数量 (Harary and Palmer 1973, p. 224; Duijvestijn and Federico 1981)。下表总结了前几个的数量。

	#	图名称
4	1	四面体图
5	2	五面体图
6	7	六面体图
7	34	七面体图
8	257	八面体图
9	2606	九面体图
10	32300	十面体图

Duijvestijn 和 Federico (1981) 枚举了 条边的多面体图，对于 , 7, 8, ...，得到 1, 0, 1, 2, 2, 4, 12, 22, 58, 158, 448, ... (OEIS A002840)。

最小的 非哈密顿多面体图 是 Herschel 图，它有 11 个节点。n=11, 12, ... 个节点上的非哈密顿多面体图的数量为 1, 2, 30, 239, 2369, 22039, 205663, ... (OEIS A007030; Dillencourt 1991)。类似地，具有 , 10, ... 个面的非哈密顿多面体图的数量为 1, 8, 135, 2557, ... (OEIS A007032; Dillencourt 1991)。

在 13 个或更少节点上，没有 不可追踪图 多面体图。

正如 Whitney (1932) 所证明的，多面体图是 唯一可嵌入的 (Fleischner 1973)。