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非中心卡方分布

具有非中心参数 lambda 的非中心卡方分布由下式给出

P_r(x)=(e^(-(x+lambda)/2)x^(r/2-1))/(2^(r/2))sum_(k=0)^(infty)((lambdax)^k)/(2^(2k)k!Gamma(k+1/2r))
(1)
=(e^(-(x+lambda)/2)x^((r-1)/2)sqrt(lambda))/(2(lambdax)^(r/4))I_(r/2-1)(sqrt(lambdax))
(2)
=2^(-r/2)e^(-(lambda+x)/2)x^(r/2-1)_0F^~_1(;1/2r;1/4lambdax),
(3)

其中 I_n(x) 是第一类修正贝塞尔函数，而 _0F^~_1 是正则化的合流超几何极限函数。它在 Wolfram 语言中实现为NoncentralChiSquareDistribution[r, lambda].

均值、方差、偏度和超额峰度是

mu=lambda+r
(4)
sigma^2=2(2lambda+r)
(5)
gamma_1=(2sqrt(2)(3lambda+r))/((2lambda+r)^(3/2))
(6)
gamma_2=(12(4lambda+r))/((2lambda+r)^2).
(7)

原点矩可以解析计算为

mu_n^'=2^ne^(-lambda/2)Gamma(n+1/2r)_1F^~_1(n+1/2r,1/2r,1/2lambda).
(8)

因此，前几个是

mu_1^'=r+lambda
(9)
mu_2^'=r^2+2r(lambda+1)+lambda(lambda+4)
(10)
mu_3^'=r^3+3r^2(lambda+2)+lambda(lambda^2+12lambda+24)+r(3lambda^2+18lambda+8).
(11)

前几个中心矩是

mu_2=2(r+2lambda)
(12)
mu_3=8(r+3lambda)
(13)
mu_4=12[r^2+4r(lambda+1)+4lambda(lambda+4)].
(14)

另请参阅

卡方分布

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Stuart, A.; 和 Ord, J. K. Kendall's Advanced Theory of Statistics, Vol. 2A: Classical Inference & the Linear Model, 6th ed. New York: Oxford University Press, p. 865, 1999.

在 Wolfram|Alpha 上引用

非中心卡方分布

请这样引用

Weisstein, Eric W. “非中心卡方分布。” 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/NoncentralChi-SquaredDistribution.html

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