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Chi 分布

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自由度为 n 的 chi 分布是卡方随机变量的平方根所服从的分布。对于 n=1，chi 分布是 半正态分布，其中 theta=sqrt(pi/2)。对于 n=2，它是 瑞利分布，其中 sigma=1。chi 分布在 Wolfram 语言 中实现为ChiDistribution[n]。

ChiDistribution
ChiDistributionPlots

此分布的概率密度函数和分布函数为

P_n(x)=(2^(1-n/2)x^(n-1)e^(-x^2/2))/(Gamma(1/2n))
(1)
D_n(x)=P(1/2n,1/2x^2).
(2)

其中 P(a,z) 是正则化伽玛函数。

第 r 阶原点矩是

mu_r^'=(2^(r/2)Gamma(1/2(n+r)))/(Gamma(1/2n))
(3)

（Johnson et al. 1994, p. 421; Evans et al. 2000, p. 57; 错别字已更正），给出前几个矩为

mu_1^'=(sqrt(2)Gamma(1/2(n+1)))/(Gamma(1/2n))
(4)
mu_2^'=n
(5)
mu_3^'=(2sqrt(2)Gamma(1/2(n+3)))/(Gamma(1/2n))
(6)
mu_4^'=n(n+2).
(7)

均值、方差、偏度和超额峰度由下式给出

mu=(sqrt(2)Gamma(1/2(n+1)))/(Gamma(1/2n))
(8)
sigma^2=(2[Gamma(1/2n)Gamma(1+1/2n)-Gamma^2(1/2(n+1))])/(Gamma^2(1/2n))
(9)
gamma_1=(2Gamma^3(1/2(n+1))-3Gamma(1/2n)Gamma(1/2(n+1))Gamma(1+1/2n))/([Gamma(1/2n)Gamma(1+1/2n)-Gamma^2(1/2(n+1))]^(3/2))+(Gamma^2(1/2n)Gamma((3+n)/2))/([Gamma(1/2n)Gamma(1+1/2n)-Gamma^2(1/2(n+1))]^(3/2))
(10)
gamma_2=(-3Gamma^4(1/2(n+1))+6Gamma(1/2n)Gamma^2(1/2(n+1))Gamma(1+1/2n))/([Gamma(1/2n)Gamma((2+n)/2)-Gamma^2(1/2(n+1))]^2)+(-4Gamma^2(1/2n)Gamma(1/2(n+1))Gamma((3+n)/2)+Gamma^3(1/2n)Gamma((4+n)/2))/([Gamma(1/2n)Gamma((2+n)/2)-Gamma^2(1/2(n+1))]^2).
(11)

另请参阅

卡方分布、半正态分布、瑞利分布

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参考文献

Evans, M.; Hastings, N.; and Peacock, B. "Chi Distribution." §8.3 in Statistical Distributions, 3rd ed. New York: Wiley, p. 57, 2000.Johnson, N.; Kotz, S.; and Balakrishnan, N. Continuous Univariate Distributions, Vol. 1, 2nd ed. Boston, MA: Houghton Mifflin, 1994.

在 Wolfram|Alpha 上引用

Chi 分布

请引用本文为

Weisstein, Eric W. "Chi Distribution." 来自 MathWorld--Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/ChiDistribution.html

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