康托集

康托集 ，有时也称为康托梳或无中三分之一集 (Cullen 1968, pp. 78-81)，是通过取区间 (设为 )，移除中间三分之一的开区间 ()，移除剩余两段的中间三分之一 ()，并无限重复此过程而得到的。因此，它是区间 区间 中三进制展开式不包含 1 的点的集合，如上图所示。

康托集的第 次迭代在 Wolfram 语言 中实现为CantorMesh[n]。

迭代过程1 -> 101, 0 -> 000从 1 开始得到序列 1, 101, 101000101, 101000101000000000101000101, .... 因此，产生的二进制位序列是 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, ... (OEIS A088917)，其第 项惊人地由 (mod 3) 给出，其中 是一个（中心）德拉诺数， 是一个 勒让德多项式 (E. W. Weisstein, 2006 年 4 月 9 日)。此序列的 递推图 如上图所示。

这产生了 集合 实数 使得

(1)

其中对于每个 ， 可以等于 0 或 2。这是一个无限的完美集。第 次迭代中 线段 的总长度为

(2)

线段的数量为 ，因此每个元素的长度为

(3)

且 容量维数 为

			(4)
			(5)
			(6)
			(7)

(OEIS A102525)。康托集是 无处稠密 的，并且具有 勒贝格测度 0。

一般康托集是由 边界点 完全组成的闭集。此类集合是 不可数无限 的，并且可能具有 0 或 正 勒贝格测度。康托集是唯一的完全不连通、完美、紧 度量空间，直至 同胚 (Willard 1970)。