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康托函数

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CantorFunction

康托函数 F(x) 是在 [0,1] 上连续但非绝对连续的函数，其定义如下。首先，将 x 用三进制表示。如果得到的三进制数字字符串包含数字 1，则将 1 之后的所有三进制数字替换为 0。接下来，将所有 2 替换为 1。最后，将结果解释为二进制数，即得到 F(x)。

康托函数是 魔鬼阶梯 的一个特例 (Devaney 1987, p. 110)，可以扩展为函数 F_q，对于 q>2，其中 q=3 对应于通常的康托函数 (Gorin and Kukushkin 2004)。

Chalice (1991) 表明，任何实值函数 F(x) 在 [0,1] 上是 单调递增 且满足

1. F(0)=0,

2. F(x/3)=F(x)/2,

3. F(1-x)=1-F(x)

的是康托函数 (Chalice 1991; Wagon 2000, p. 132)。

Gorin 和 Kukushkin (2004) 给出了显著的恒等式

I_q(n)=int_0^1[F_q(t)]^ndt =1/(n+1)-(q-2)sum_(k=1)^(|_n/2_|)(n; 2k)(2^(2k-1)-1)/(q·2^(2k-1)-1)(B_(2k))/(n-2k+1)

对于整数 n。对于 q=3 和 n=1, 2, ..., 这给出了前几个值为 1/2, 3/10, 1/5, 33/230, 5/46, 75/874, ... (OEIS A095844 和 A095845)。

M. Trott (私人通讯，2004年6月8日) 指出

int_0^1[F(t)]^(F(t))dt approx 0.750387...

(OEIS A113223)，这似乎略大于 3/4。

另请参阅

康托集, 魔鬼阶梯

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参考文献

Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Calkin, N. J.; Girgensohn, R.; Luke, D. R.; and Moll, V. H. Experimental Mathematics in Action. Wellesley, MA: A K Peters, p. 237, 2007.Chalice, D. R. "A Characterization of the Cantor Function." Amer. Math. Monthly 98, 255-258, 1991.Devaney, R. L. An Introduction to Chaotic Dynamical Systems. Redwood City, CA: Addison-Wesley, 1987.Gorin, E. A. and Kukushkin, B. N. "Integrals Related to the Cantor Function." St. Petersburg Math. J. 15, 449-468, 2004.Sloane, N. J. A. Sequences A095844, A095845, A113223 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Wagon, S. "The Cantor Function" and "Complex Cantor Sets." §5.2 and 5.3 in Mathematica in Action, 2nd ed. New York: W. H. Freeman, pp. 132-138, 2000.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

康托函数

引用为

Weisstein, Eric W. "康托函数。" 来自 MathWorld——Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/CantorFunction.html

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