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康托集尘

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CantorDustFractal

康托集尘是一种分形，可以使用字符串重写构建，从单元格 [0] 开始并迭代以下规则

{0->[0 0 0; 0 0 0; 0 0 0],1->[1 0 1; 0 0 0; 1 0 1]}.
(1)

康托集尘的第 n 次迭代在 Wolfram 语言中实现为CantorMesh[n, 2].

设 N_n 为黑色方框的数量，L_n 为方框边长，A_n 为第 n 次迭代后黑色方框的分数面积，则

N_n=4^n
(2)
L_n=3^(-n)
(3)
A_n=L_n^2N_n
(4)
=(4/9)^n.
(5)

因此，经过 n=0, 1, 2, ... 次迭代后，黑色正方形的数量分别为 1、4、16、64、256、1024、4096、16384、... (OEIS A000302)。因此，容量维度为

d_(cap)=-lim_(n->infty)(lnN_n)/(lnL_n)
(6)
=log_34
(7)
=(2ln2)/(ln3)
(8)
=1.261859.
(9)

另请参阅

盒分形, 康托集, 康托正方形分形, 哈弗曼地毯, 谢尔宾斯基地毯, 谢尔宾斯基筛

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参考文献

Broden, J.; Espinosa, M.; Nazareth, N.; and Voth, N. "分形内部的结。" 5 Sep 2024. https://arxiv.org/abs/2409.03639.Dickau, R. M. "康托集尘。" http://mathforum.org/advanced/robertd/cantor.html.Mandelbrot, B. B. 大自然的分形几何。 New York: W. H. Freeman, p. 80, 1983.Ott, E. 动力系统中的混沌。 New York: Cambridge University Press, pp. 103-104, 1993.Sloane, N. J. A. Sequences A000302/M3518 and A100831 in "整数序列在线百科全书"。

在 Wolfram|Alpha 中被引用

康托集尘

请引用为

Weisstein, Eric W. "康托集尘。" 来自 MathWorld——Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/CantorDust.html

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