Stirling 变换

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序列 ${a_n}_(n=0)^N$ 到序列 ${b_n}_(n=0)^N$ 的变换 $S[{a_n}_(n=0)^N]$ 由以下公式给出

(1)

其中是第二类 Stirling 数。逆变换由下式给出

(2)

其中是第一类 Stirling 数（Sloane 和 Plouffe 1995, p. 23）。

下表总结了一些常见序列的 Stirling 变换，其中表示 Iverson 括号，表示素数。

	OEIS	$S[{a_n}_(n=0)^N]$
1	A000110	1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, ...
	A005493	0, 1, 3, 10, 37, 151, 674, ...
	A000110	1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, ...
	A085507	0, 0, 1, 4, 13, 41, 136, 505, ...
	A024430	1, 0, 1, 3, 8, 25, 97, 434, 2095, ...
	A024429	0, 1, 1, 2, 7, 27, 106, 443, ...
	A033999	1, , 1, , 1, , ...

这里， $S[{1}_(n=0)^N]$ 给出了 Bell 数。

$S[{n}_(n=0)^N]$ 具有指数生成函数

(3)

另请参阅

二项式变换、欧拉变换、指数变换、莫比乌斯变换、第一类 Stirling 数、第二类 Stirling 数

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参考文献

Bernstein, M. 和 Sloane, N. J. A. "Some Canonical Sequences of Integers." Linear Algebra Appl. 226-228, 57-72, 1995.Graham, R. L.; Knuth, D. E.; 和 Patashnik, O. "Factorial Factors." §4.4 in Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, p. 252, 1994.Riordan, J. Combinatorial Identities. New York: Wiley, p. 90, 1979.Riordan, J. An Introduction to Combinatorial Analysis. New York: Wiley, p. 48, 1980.Sloane, N. J. A. 序列 A000110/M1483, A005493/M2851, A024429, A024430, A033999, A052437, 和 A085507 在 "整数序列在线百科全书" 中。Sloane, N. J. A. 和 Plouffe, S. The Encyclopedia of Integer Sequences. San Diego, CA: Academic Press, 1995.

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请引用为

Weisstein, Eric W. "Stirling 变换。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/StirlingTransform.html

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