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互补贝尔数

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互补贝尔数，也称为 Uppuluri-Carpenter 数，

B^~_n=sum_(k=0)^n(-1)^kS(n,k)
(1)

其中 S(n,k) 是第二类斯特林数，通过类比贝尔数定义

B_n=sum_(k=0)^nS(n,k).
(2)

它们由下式给出

B^~_n=B_n(-1),
(3)

其中 B_n(x) 是贝尔多项式。

对于 n=0, 1, ..., 前几个数是 1, -1, 0, 1, 1, -2, -9, -9, 50, 267, 413, ... (OEIS A000587)。

它们有生成函数

G(x)=ee^(-e^x)
(4)
=e^(1-e^x)
(5)
=1-x-1/6x^3+1/(24)x^4-1/(60)x^5-1/(80)x^6+....
(6)

它们有级数表示

B^~_n=esum_(k=0)^infty((-1)^kk^n)/(k!).
(7)

它们在 n=5, 36, 723, ... 时是素数（绝对值）(OEIS A118018)，对应于素数 2, 1454252568471818731501051, ... (OEIS A118019)，对于 n<=40968 没有其他素数 (E. W. Weisstein, 2009年3月21日)。

另请参阅

贝尔数, 贝尔多项式, 整数序列素数, 第二类斯特林数

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参考文献

Beard, R. E. "关于 e^(e^t) 和 e^(-e^t) 展开式中的系数." J. Inst. Actuaries 76, 152-163, 1950.Bouillet, J. E. "广义扩散方程：径向对称性和比较定理." J. Math. Anal. Appl. 96, 37-68, 1983.Harris, B. and Schoenfeld, L. "解析函数系数的渐近展开." Ill. J. Math. 12, 264-277, 1968.Klazar, M. "计数偶数和奇数划分." Amer. Math. Monthly 110, 527-532, 2003.Klazar, M. "贝尔数、它们的亲属和代数微分方程." J. Combin. Th. A 102, 63-87, 2003.Kolokolnikova, N. A. "某些特殊数的和之间的关系." In 组合分析的渐近和枚举问题 (Ed. G. P. Egoryčev and M. L. Platonov). Krasnoyarsk, Soviet Union: Krasnojarsk. Gos. Univ., pp. 117-124, 1976.Sloane, N. J. A. 序列 A000587/M1913, A118018, 和 A118019 在 "整数序列在线百科全书" 中。Subbarao, M. V. and Verma, A. "关于乘积展开的一些评论。一个未被探索的划分函数." In 符号计算、数论、特殊函数、物理学和组合学 (Gainesville, FL, 1999). Dordrecht, Netherlands: Kluwer, pp. 267-283, 2001.Uppuluri, V. R. R. and Carpenter, J. A. "由函数 exp(1-e^x) 生成的数." Fib. Quart. 7, 437-448, 1969.Yang, Y. "关于乘法划分函数." Electron. J. Combin. 8, No. R19, 2001.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

互补贝尔数

请引用为

Weisstein, Eric W. "互补贝尔数." 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ComplementaryBellNumber.html

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