Banach-Alaoglu 定理

在 泛函分析 中，Banach-Alaoglu 定理（有时也称为 Alaoglu 定理）是一个结果，它指出 拓扑向量空间 的 连续对偶 的 范数 单位球 在 范数拓扑 在 上诱导的 弱-*拓扑 中是 紧的。

更精确地说，给定一个拓扑向量空间 和 中 邻域 ，Banach-Alaoglu 定理指出所谓的 极集 是弱-* 紧的（即，在上面提到的 的弱-*拓扑中是紧的），其中

其中 表示 标量 在 的底层 标量域 中的大小（即，如果 是 实向量空间，则为 的 绝对值；如果 是 复向量空间，则为其 复模）。

Alaoglu 在 1940 年代证明了一般拓扑向量空间 的证明，尽管 Banach 在 1930 年代证明了 可分 的特殊情况。从那时起，该定理已被推广到其他各种背景，最著名的是 Bourbaki 将其推广到对偶拓扑的语言中，并有许多重要的推论。例如，该定理意味着在 自反 Banach 空间 （例如，当 是 希尔伯特空间 时）中的每个 有界 序列 都有一个 弱收敛 子序列，因此在这些空间中有界 凸集 的范数闭包是弱紧的。

值得注意的是，Banach-Alaoglu 定理有一种逆定理，它也是成立的。特别地，如果 是一个 Banach 空间，其对偶为 ，如果 表示 中的闭单位球，并且如果 是 中的一个凸集，对于每个 ，交集 是弱-* 紧的，那么 必然是弱-* 闭的。