弱-* 拓扑

设 为一个 拓扑向量空间，其连续 对偶空间 可能分离点，也可能不分离点（即，可能为 T2 空间，也可能不为 T2 空间）。在 上的弱-*（发音为 “weak star”）拓扑被定义为 -拓扑 在 上，即最粗糙的 拓扑 （具有最少 开集 的拓扑），在该拓扑下，每个元素 都对应于 上的 连续映射。弱-* 拓扑有时也称为超弱拓扑或 -弱拓扑。

上述定义的基本观察是，每个元素 都在 上诱导一个 线性泛函 。特别地， 的形式为

对于每个元素 ，并且因此，人们可以将空间 视为 上线性泛函的集合，因此可以在其上定义 -拓扑。

直接从上述内容得出的是，弱-* 拓扑是更一般概念的特例。特别地，给定一个非空族 ，其为从集合 到 拓扑空间 的映射，可以定义一个拓扑 为 形式的集合的所有 并集 和有限 交集，其中 且 是 中的开集。拓扑 通常称为 -拓扑 在 上和/或由 诱导的 上的弱拓扑，由此可知，上述定义对应于 对于拓扑向量空间 的特殊情况。

弱-* 拓扑在整个 泛函分析 中是基础性的，在许多重要定理中起着基础作用，包括 Banach-Alaoglu 定理。