自反空间

设 为 赋范空间， 表示 的第二次对偶向量空间 。典范映射 由 定义，给出了从 到 的等距线性同构（嵌入）。如果此映射是满射的，则空间 称为自反空间。这个概念由 Hahn (1927) 引入。

例如，有限维（赋范）空间和 希尔伯特空间 是自反的。绝对可和复序列空间 不是自反的。James (1951) 构造了一个非自反的巴拿赫空间，它与其第二次共轭空间等距同构。

自反空间是 巴拿赫空间。这是因为给定一个可能是或可能不是巴拿赫空间的 赋范空间 ， 上的范数在 的对偶 上诱导一个范数（称为对偶范数），并且在对偶范数下， 是巴拿赫空间。再次迭代，（ 的双对偶）也是巴拿赫空间，并且由于如果 与其双对偶重合，则 是自反的，所以 是巴拿赫空间。