巴拿赫空间

巴拿赫空间是具有范数 的完备的 向量空间 。如果两个范数 和 给出相同的拓扑，则称它们是等价的，这等价于存在常数 和 使得

(1)

和

(2)

对所有 成立。

在有限维情况下，所有范数都是等价的。无限维空间可以有许多不同的范数。

一个基本例子是具有欧几里得范数的 维欧几里得空间。通常，巴拿赫空间的概念仅在无限维 setting 中使用，通常作为函数向量空间。例如，在实数线的闭区间上连续函数集，其函数 的范数由下式给出

(3)

是巴拿赫空间，其中 表示上确界。

另一方面，在单位区间 上连续函数集，其函数 的范数由下式给出

(4)

不是巴拿赫空间，因为它不是完备的。例如，函数柯西序列

(5)

不收敛到连续函数。

以其内积给出的范数为希尔伯特空间是巴拿赫空间的例子。虽然希尔伯特空间总是巴拿赫空间，但反之不一定成立。因此，巴拿赫空间有可能不具有由内积给出的范数。例如，上确界范数不能由内积给出。

Renteln 和 Dundes (2005) 给出了以下关于巴拿赫空间（糟糕的）数学笑话

问：什么是黄色的、线性的、赋范的和完备的？ 答：香蕉赫空间（Bananach space）。